ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеПремия для молодых математиков Образовательного фонда «Талант и успех»21.06.2021 00:48
23.01.2004 22:29
Сергей A.
Новая задача про группу перестановок
Итак, один преподаватель дал мне "тривиальную" (на его взгляд) задачу: доказать, что в группе перестановок Sn найдётся элемент g, порядок которого больше или равен n^k (n в степени k), где k = 4, хотя может равняться 5, 6...и т.д. (как он сказал).

Каким образом этот "зверь" решается?
Я, конечно, прекрасно понимаю, что перестановку длины n надо разложить на циклы длины x1, ..., xk так, чтобы x1+...+xk = n, а далее надо указать такой набор x1, ..., xk, что НОК(x1, ..., xk) >= n^4.
Но как это сделать, это - большой вопрос...
24.01.2004 00:36
Сергей Михайлов
поправка
Я так понимаю, что в условии надо написать "для достаточно больших n". Т.к. порядок группы S_3 равен 6 и в ней точно не найдется элемента, порядок которого больше, чем 3^4 = 81. Если же потребовать решения "для достаточно больших n", то эта задача следует из другой, в которой требуется "доказать, что существует c > 1, такое, что найдется перестановка g с порядком c^{sqrt(n*ln(n))}.
Но думаю, для n^4 можно придумать и более простое решение.
20.02.2004 00:52
Решение
По-моему, достаточно в качестве длин произвольных 8 циклов взять различные простые числа, превосходящие sqrt(n). Уже для n=1000 так точно можно сделать.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти