Целую неделю не могу решить одну задачу!

Автор темы Алексей 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеML Research Engineer, до $8k/мес net06.09.2023 14:11
Форумы Список тем Новая тема
03.06.2003 21:04
Алексей
Целую неделю не могу решить одну задачу!
Помогите доказать, что спектр оператора - не пустое множество. Рад любым советам и идеям.
Ответить Цитировать
03.06.2003 22:54
Maxim A. Babenko
Может это поможет
Пусть фиксирован оператор A, тогда рассмотрим его резольвенту: оператор
R(\lambda) = (A - \lambda I) ^ {-1}.
По определению те \lambda, для которых резольвента существует, и принадлежат спектру.

Заметим, что резольвента не обращается в нуль ни при каком \lambda (*)
Предположим, что спектр пуст, т.е. резольвента существует для всякого \lambda.

Этого, однако, быть не может. Чтобы показать это, необходимо резольвенту разложить в ряд по степеням \lambda (ряд Неймана, кажется):
R(\lambda) = \sum{k \geq 0} \lambda^{-k} A^{-k-1}
(это разложение в окрестности бесконечности, A^{-1} существует по предположению).
Поскольку этот ряд сходится при \lambda бесконечном, то следовательно он задает функцию от оператора, голоморфную на всей комплексной сфере. По теореме Лиувилля эта фукнция постоянна. Но на бесконечности она равна нулевому оператору, что противоречит (*).

Вот такое доказательство было у нас в функане на 3 курсе, может я чего и напутал, давно это было...
Ответить Цитировать
04.06.2003 00:02
Алексей
Есть несколько дополнительных вопросов.
Ваши слова:

"По определению те \lambda, для которых резольвента существует, и принадлежат спектру. "

Вы пропустили слово "не" перед "существует". Потом, правда, поправились.

"Заметим, что резольвента не обращается в нуль ни при каком \lambda"

Главный вопрос: почему она не обращается в нуль? Никак понять не могу! Может очевидно? :)

"R(\lambda) = \sum{k \geq 0} \lambda^{-k} A^{-k-1}"

Я понимаю, что это такой ряд: Сумма по k от нуля до бесконечности, под суммой лямбда в степени -k и A в степени -k-1. Правильно?

"голоморфную на всей комплексной сфере."

Комплексная сфера это пространство С в степени n? (C - множество всех комплексных чисел).

Что значит голоморфную?

"По теореме Лиувилля эта фукнция постоянна"

Теорем Лиувилля очень много: можете конкретизировать, какая именно?

Большое спасибо - в целом. Доказательство очень логичное, именно на курсе функана (3 курс) оно мне и нужно. Мне действительно очень нужно это доказательство - пишите мне на e-mail (tanat@hotmail.ru).
Ответить Цитировать
04.06.2003 00:35
Maxim A. Babenko
См. e-mail
Цитата

Вы пропустили слово "не" перед "существует". Потом, правда, поправились.
Да, спасибо за замечание, это опечатка.
Ответить Цитировать
04.06.2003 00:36
гоголь
А говоришь проблемы отсутствуют...
тха-ха-ха-ха
Ответить Цитировать
04.06.2003 01:10
Maxim A. Babenko
Может это поможет (bugfixed :-)
Благодаря совместным усилиям основые ошибки в рассуждении были поправлены (надеюсь!) Это ж надо было неправильно написать ряд.. :-)

Пусть фиксирован оператор A, тогда рассмотрим его резольвенту: оператор
R(\lambda) = (A - \lambda I) ^ {-1}.
По определению те \lambda, для которых резольвента не существует, и принадлежат спектру.

Заметим, что резольвента не обращается в нуль ни при каком \lambda (*)
Предположим, что спектр пуст, т.е. резольвента существует для всякого \lambda.

Этого, однако, быть не может. Чтобы показать это, необходимо резольвенту разложить в ряд по степеням \lambda (ряд Неймана, кажется):
R(\lambda) = - \sum{k \geq 0} \lambda^{-k-1} A^k
Поскольку этот ряд сходится при \lambda бесконечном, то следовательно он задает функцию от оператора, голоморфную на всей комплексной сфере. По теореме Лиувилля эта фукнция постоянна. Но на бесконечности она равна нулевому оператору, что противоречит (*).
Ответить Цитировать
04.06.2003 01:17
Алексей
Сенкс огромный!
Большое спасибо. Все вроде логично и правильно. Спесибо, что потратили на меня время!
Ответить Цитировать
04.06.2003 01:48
Алексей
Аналитичность
А откуда следует голоморфизм функции от оператора А?
Ответить Цитировать
04.06.2003 20:47
Администратор
Тема закрыта за спам форума!
Тема закрыта за спам форума многочисленными дублями своего сообщения! Пусть автор почитает правила!
Ответить Цитировать
« Следующая тема   Предыдущая тема »
Извините, вы не можете публиковать ответы в этой теме, поскольку она закрыта.