Целую неделю не могу решить одну задачу!

Автор темы Алексей 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПостдок позиция по математике в Гетеборге (Швеция)10.09.2021 19:11
ОбъявлениеPostdoc: Stochastics and algorithmics behind network problems (Netherlands)08.10.2021 08:36
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2022/202314.10.2021 12:28
03.06.2003 21:04
Алексей
Целую неделю не могу решить одну задачу!
Помогите доказать, что спектр оператора - не пустое множество. Рад любым советам и идеям.
03.06.2003 22:54
Maxim A. Babenko
Может это поможет
Пусть фиксирован оператор A, тогда рассмотрим его резольвенту: оператор
R(\lambda) = (A - \lambda I) ^ {-1}.
По определению те \lambda, для которых резольвента существует, и принадлежат спектру.

Заметим, что резольвента не обращается в нуль ни при каком \lambda (*)
Предположим, что спектр пуст, т.е. резольвента существует для всякого \lambda.

Этого, однако, быть не может. Чтобы показать это, необходимо резольвенту разложить в ряд по степеням \lambda (ряд Неймана, кажется):
R(\lambda) = \sum{k \geq 0} \lambda^{-k} A^{-k-1}
(это разложение в окрестности бесконечности, A^{-1} существует по предположению).
Поскольку этот ряд сходится при \lambda бесконечном, то следовательно он задает функцию от оператора, голоморфную на всей комплексной сфере. По теореме Лиувилля эта фукнция постоянна. Но на бесконечности она равна нулевому оператору, что противоречит (*).

Вот такое доказательство было у нас в функане на 3 курсе, может я чего и напутал, давно это было...
04.06.2003 00:02
Алексей
Есть несколько дополнительных вопросов.
Ваши слова:

"По определению те \lambda, для которых резольвента существует, и принадлежат спектру. "

Вы пропустили слово "не" перед "существует". Потом, правда, поправились.

"Заметим, что резольвента не обращается в нуль ни при каком \lambda"

Главный вопрос: почему она не обращается в нуль? Никак понять не могу! Может очевидно? :)

"R(\lambda) = \sum{k \geq 0} \lambda^{-k} A^{-k-1}"

Я понимаю, что это такой ряд: Сумма по k от нуля до бесконечности, под суммой лямбда в степени -k и A в степени -k-1. Правильно?

"голоморфную на всей комплексной сфере."

Комплексная сфера это пространство С в степени n? (C - множество всех комплексных чисел).

Что значит голоморфную?

"По теореме Лиувилля эта фукнция постоянна"

Теорем Лиувилля очень много: можете конкретизировать, какая именно?

Большое спасибо - в целом. Доказательство очень логичное, именно на курсе функана (3 курс) оно мне и нужно. Мне действительно очень нужно это доказательство - пишите мне на e-mail (tanat@hotmail.ru).
04.06.2003 00:35
Maxim A. Babenko
См. e-mail
Цитата

Вы пропустили слово "не" перед "существует". Потом, правда, поправились.
Да, спасибо за замечание, это опечатка.
04.06.2003 00:36
гоголь
А говоришь проблемы отсутствуют...
04.06.2003 01:10
Maxim A. Babenko
Может это поможет (bugfixed :-)
Благодаря совместным усилиям основые ошибки в рассуждении были поправлены (надеюсь!) Это ж надо было неправильно написать ряд.. :-)

Пусть фиксирован оператор A, тогда рассмотрим его резольвенту: оператор
R(\lambda) = (A - \lambda I) ^ {-1}.
По определению те \lambda, для которых резольвента не существует, и принадлежат спектру.

Заметим, что резольвента не обращается в нуль ни при каком \lambda (*)
Предположим, что спектр пуст, т.е. резольвента существует для всякого \lambda.

Этого, однако, быть не может. Чтобы показать это, необходимо резольвенту разложить в ряд по степеням \lambda (ряд Неймана, кажется):
R(\lambda) = - \sum{k \geq 0} \lambda^{-k-1} A^k
Поскольку этот ряд сходится при \lambda бесконечном, то следовательно он задает функцию от оператора, голоморфную на всей комплексной сфере. По теореме Лиувилля эта фукнция постоянна. Но на бесконечности она равна нулевому оператору, что противоречит (*).
04.06.2003 01:17
Алексей
Сенкс огромный!
Большое спасибо. Все вроде логично и правильно. Спесибо, что потратили на меня время!
04.06.2003 01:48
Алексей
Аналитичность
А откуда следует голоморфизм функции от оператора А?
04.06.2003 20:47
Тема закрыта за спам форума!
Тема закрыта за спам форума многочисленными дублями своего сообщения! Пусть автор почитает правила!
Извините, вы не можете публиковать ответы в этой теме, поскольку она закрыта.