Всюду плотные множества

Автор темы gaveka 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий и рекламы в форуме26.03.2008 03:07
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеPhD позиция (аспирантура) по математике в Мальмё, Швеция30.09.2017 22:10
10.01.2017 23:31
Всюду плотные множества
Помогите доказать, что $l_2$ можно представить в виде объединения двух непересекающихся
выпуклых всюду плотных множеств, а $R^n$ так представить нельзя.
11.01.2017 00:18
Ну, почему так нельзя
представить $R^n$ - почти очевидно, а вот с $l_2$ ....
12.01.2017 21:39
Правильно ли?
R^n нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся выпуклых всюду плотных множеств, так как по теореме отделимости множеств в R^n, любые два множества, которые не пусты, выпуклы и не пересекаются в R^n-отделимы.
Для l^2 можно взять множество финитных последовательностей, и l^2 без них. Тогда эти два множества не пересекаются. Мы знаем, что финитные последовательности всвюду плотны. и они выпуклы. Так же l^2 без финитных будет выпукло и всюду плотно, так как мы можем выбрать для любой финитной последовательности, такую же последовательность, но там, где нули поставить 1/n. Тогда при увеличение n, мы сможем добиться, чтобы расстоянии было заведомо меньше эпсилона.
12.01.2017 23:17
Сомнительно,
что множество "нефинитных" последовательностей выпукло в $l^2$. Легко придумать две "нефинитные" последовательности, полусумма которых будет нулем, т.е. финитной послед-стью.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти