Неприводимые комплексные представления...

Автор темы anonim 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеАктуарий в PPF Life Insurance (Junior)25.03.2021 21:35
ОбъявлениеSenior lecturer in Mathematics Linkoping (Швеция)04.09.2021 23:16
ОбъявлениеPostdoc: Stochastics and algorithmics behind network problems (Netherlands)08.10.2021 08:36
27.01.2004 16:18
anonim
Неприводимые комплексные представления...
Требуется найти все неприводимые комплексные представления группы GL_3(Z_7).
Я даже не знаю, с чего начать... Не смог даже найти порядок этой группы :( Помогите плиз!
29.01.2004 10:48
a.t.
порядок группы
для того, чтобы найти порядок группы, нужно посчитать, сколько ненулевых векторов может быть на первой строчке, затем, сколько непропорциональных ему на второй (все-пропорциональные), затем сколько векторов на третьей строчке, не лежащих в пространстве, натянутом на первых двух.

итого, если живём в Z_7, на первой строчке --- 7*7*7 - 1 векторов,
на второй --- 7*7*7 - 7,
на третьем --- 7*7*7 - 7*7 (7*7 потому, что как коэффициенты при первых двух).

перемножаем: 33784128

теперь можно найти порядок фактора по коммутанту: как известно, (GL_3(z_7))'=SL_3(Z_7), значит фактор изоморфен Z_7 ^* (по теореме о гомоморфизме), поэтому порядок 6

тем самым найдём количество одномерных представлений, более того даже сможем их описать: описать представления Z_6 не составит труда

ещё можно найти количество попарно неизоморфных неприводимых комплексных представлений как количество классов сопряженности получается 258

но вот как найти хотя бы порядки других представлений, я пока не понимаю :(

29.01.2004 23:29
anonim
Не все так просто
Спасибо за ответ! У меня возникли сразу некоторые вопросы:

1) По-моему, Вы не совсем верно нашли порядок группы. Вот, к примеру матрица
5 3 0
2 4 0
0 0 1
под Ваше построение подходит, а ее определитель =14 = 0 (mod 7), и стало быть она не принадлежит GL_3(Z_7).
Я не ошибаюсь?

2) Можно поподробнее, почему (GL_3(Z_7))'=SL_3(Z_7)? Это можно найти в какой-нибудь литературе?

3) Как вы получили, что классов сопряженности в этой группе 258?
30.01.2004 14:16
a.t.
re
Цитата

anonim писал(а) :
1) По-моему, Вы не совсем верно нашли порядок группы. Вот, к примеру матрица
5 3 0
2 4 0
0 0 1
под Ваше построение подходит, а ее определитель =14 = 0 (mod 7), и стало быть она не принадлежит GL_3(Z_7).
Я не ошибаюсь?
не подходит: 5(2,4,0)=(10,20,0)=(10,6,0)=2(5,3,0)
Цитата

2) Можно поподробнее, почему (GL_3(Z_7))'=SL_3(Z_7)? Это можно найти в какой-нибудь литературе?
Каргаполов, Мерзляков "Основы теории групп" --- тут точно есть;
ещё можно посмотреть задачник под ред. Кострикина
Цитата

3) Как вы получили, что классов сопряженности в этой группе 258?
по жордановой форме:
|x 1 0|x 1 0|x 0 0|
|0 x 0|0 x 1|0 y 0|
|0 0 y|0 0 x|0 0 z|
каждый принимает 6 значений

30.01.2004 16:12
тополог
число классов сопряженности
намного больше, и жнф здесь пользоваться так просто нельзя, поскольку поле не является алгебраически замкнутым. Матрицы вида

| 0 1 0 |
| 0 0 1 |
| a b c |

при a отличном от нуля все попарно не сопряжены (разные характеристические многочлены), так что вот вам уже 6*7*7=294 класса сопряженности. При этом диагональные матрицы, у которых хотя бы два элемента на диагонали совпадают, сюда не входят, так что имеется еще 36 классов. А также не входят матрицы вида

| x 1 0 |
| 0 x 0 |
| 0 0 x |

Значит еще плюс 6. Уже 336. И это может быть еще не все.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти