Можно ли зная моменты, восстановить вид функции плотности вероятности?

Автор темы Lon 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеHuawei - Research scientist (math)22.06.2021 11:25
ОбъявлениеРабота автором топиков и проектов на математическом треке Hyperskill24.09.2021 21:18
29.01.2004 12:14
Lon
Можно ли зная моменты, восстановить вид функции плотности вероятности?
Как я понимаю, задача сводится к решению интегрального уравнения

интеграл от (x^n)*w(x)*dx = F(n), где n принадлежит множеству натуральных чисел, а F(n) известно.

Вот вопрос: можно ли на основании такой информации найти w(x), по возможности не прибегая к рядам?
Если кто ответит, буду очень признателен
05.02.2004 09:52
Sten
Это похоже на интегральное уравнение первого рода
Линейное интегральное уравнение первого рода. С оговорками, конечно
06.02.2004 20:53
яя
кажется, так
Если докажешь, что из равенства нулю всех моментов следует равенство нулю функции, то получишь, что хочешь. А это -- похоже на лемму Дю-Буа-Реймона (если при всех g интеграл I(fg)dx=0 , то f=0 в классах...) в сочетании с теоремой, что на отрезке любую непрерывную ф-ю можно приблизить многочленом.
08.02.2004 01:52
Sten
А при чем здесь это?
Очевидно, что рассматривается случай с ненулевыми моментами. Иначе бы задача не имела смысла.
14.02.2004 13:34
Basilisk
Вроде можно
Момент k-го порядка есть производная характеристической функции рапспределения (т.е. преобразования Фурье функции плотности) в точке нуль умноженная на i^k (вроде так), значит, зная все моменты, мы знаем разложение характеристической функции в нуле в ряд Тейлора, применив, обратное преобразование мы получим функцию плотности. Но наверное здесь остаются всякие вырожденные случаи.
16.02.2004 17:03
Lon
Спасибо
надо прикинуть в реале, что получится.
16.02.2004 19:29
Так-то оно так...
Если имеются действительно все моменты, то можно и так. Если имеются первые несколько моментов, то ряд надо где-то обрезать, иначе обратное преобразование Фурье разойдётся, а где обрезать - не совсем понятно. С другой стороны, есть такая штука, как разложение Грама-Шарлье. Это представление плотности вероятности в виде плотности нормального распределения плюс некие поправки, пропорциональные асимметрии, эксцессу и т.д.
16.02.2004 21:00
Lon
Надо посмотреть
Спасибо за совет. Надо посмотреть, что такое разложение Грама-Шарлье. Хотя представление произвольного распределения в виде нормального плюс поправки может оказаться не слишком удачной идеей. Это должно быть хорошо, когда отклонение от нормального не слишком значительно.
18.02.2004 19:10
яя
а вот причём
Sten, посмотрите, вопрос был задан так:

"Можно ли зная моменты, восстановить вид функции плотности вероятности?"

Это значит, что нам ДАНО, что функция плотности с данными моментами СУЩЕСТВУЕТ, вопрос в том МОЖНО ЛИ её восстановить.

Восстановить её можно тогда и только тогда, когда разным функциям соответствуют разные векторы (бесконечные наборы) моментов. Чтобы доказать, что РАЗНЫМ векторам соответствуют РАЗНЫЕ функции, достаточно доказать, что НУЛЕВОМУ вектору соответствует только НУЛЕВАЯ функция.

Вот об этом я и трактовал.

Или я в чём-то неправ?

18.02.2004 22:01
Sten
Все правильно. Это я не понял
Спасибо, что объяснили
19.02.2004 10:51
WEP
Проблема моментов
Есть книги по этой огромной науке. Поищите по фамилиям авторов М. Г. Крейн, ?. ?. Нудельман.

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти