Подскажите на что похоже

Пусть $a_1,\,a_2,\,...$ - последовательность точек (векторов) на множестве К, стремящаяся к точке $(0,0)$.
Рассмотрим последовательность точек не принадлежащих К $b_1,\,b_2,\,...$ удовлетворяющих условиям:
1. $||b_i-a_i||<\frac{1}{i}$
2. $||f(b_i)||>i$.
Подобрать такую последовательность, очевидно, возможно, если функция f удовлетворяет условию.
Будем иметь:
$a_i\,\to\,0$ и $f(a_i)\,\to\,\infty$, что противоречит условию.
Вывод: такой функции не существует.
НО, что касается этого:

Цитата

Понятное дело, таким "доопределением" мы не сделаем функцию непрерывной в точке (0,0).

Если функция f удовлетворяет условию: $f(x)\,\to\,0$ при $x\,\to\,0$, при стремлении х по области определения, то, доопределив функцию указанным Вами способом, мы не сделаем функцию непрерывной в точке (0,0).