Доказательство v постулата (аксиомы параллельности)

Отдаю себе отчёт в том, что первой реакцией на заявленную тему («Доказательство V постулата») будет ироническая усмешка: опять двадцать пять, ещё один со своими бреднями выискался. Я так думаю, что предлагаемые доказательства Пятого постулата сходу, не читая (априори) сочтёт «бредом» подавляющее большинство достаточно знакомых с математикой и с её историей людей. Сознавая это, я и решил сразу («с порога») привести доказательство, найденное мной уже в ходе обсуждения заявленной темы. Итак:
Если на плоскости даны прямая и не лежащая на ней точка, то через данную точку и любую точку данной прямой проходит прямая (= данная точка имеет по общей прямой со «всеми» точками данной прямой). Справедливость этого утверждения прямо следует из самой первой аксиомы геометрии: через любые две точки проходит прямая.
Кажется очевидным, что в таком случае прямая, проходящая через данную точку и сближающаяся, но не пересекающаяся с данной прямой – невозможна. К тому же эта «очевидность», в свою очередь, может быть доказана. Формулирую теорему:
Если «первая аксиома» выполняется и через данную точку и всякую точку данной прямой проходит прямая, то невозможна прямая, проходящая через данную точку и сближающаяся, но не пересекающаяся с данной прямой.
Доказательство: Любая сближающаяся с данной прямой прямая проходит через треугольник, двумя сторонами которого являются отрезки, лежащие на проходящих через данную точку прямых (одна «слева», другая «справа» от «гипотетически непересекающейся» прямой), пересекающих данную прямую. У этих отрезков-сторон один конец – общий (данная точка), а два других различны (точки их пересечения с данной прямой). Третьей стороной будет отрезок, отсекаемый на данной прямой этими двумя пересекающими её прямыми. Поскольку наша гипотетическая прямая бесконечна, она должна какую-то сторону указанного треугольника пересечь. Со сторонами, лежащими на боковых прямых («левой» и «правой») у неё уже есть общая точка (данная точка, являющаяся вершиной означенного треугольника). А, значит, «прямая-гипотеза» ни одну из них пересечь не может. Следовательно, она пересечёт сторону, лежащую на данной прямой. Следовательно, прямая, проходящая через данную точку и сближающаяся с данной прямой, но её не пересекающая – невозможна.

Вот такая «бредня»… Кто возьмётся её развеять-разоблачить-опровергнуть – милости прошу. Но сейчас не об этом. Вышло так, что ниже опубликованный по Теме материал уже на сегодня достаточно объёмен. А рассмотрение вопросов Темы всё продолжается. К тому же оказались затронуты вопросы (из области аксиоматики и философии математики), поднимать которые не собирался. В связи с этим я решил составить что-то вроде указателя изложенного. По мере дальнейших публикаций «указатель» будет дополняться. «Указатель», конечно, не полный – указывалось то, что (на мой субъективный взгляд) того заслуживает.

Публикации 30.07-13.08. 2017 – Сообщение о том, что в книге Григория Шевчука (Бутицкого) «Заклятая аксиома. Заметки о параллельности» приведены доказательства Пятого постулата с кратким пересказом некоторых из них.

19.08.2017 – Полностью приводятся четыре доказательства Постулата (два – по «Заклятой аксиоме», два же придуманы по её прочтению).
Предположение о том, почему одну из приведённых теорем не удалось доказать Гауссу.
Три пропозиции «Заклятой аксиомы», являющиеся «ключами» к «ларчику параллельности» и позволяющие каждому, кто не поленится, отыскать собственные доказательства Пятого постулата.

21.08.2017 – По ходу отвечания на выпады оппонента «сама собой» сформулирована и доказана теорема, которая приводилась выше («с порога»).

((26-27.08)) - Опять же в процессе отвечания оппоненту появилась теорема (тоже выше приведена), дополняющая предыдущую. Таким же образом появилось и ещё одно доказательство теоремы, которую не смог доказать Гаусс.
По поводу математической простоты (почти «примитивности») новых доказательств замечено следующее:
«Похоже, что чем проще и непосредственнее доказательство «аксиомы параллельности», тем позже оно отыскивается-открывается, т.е. тем сложнее даётся уму путь к нему. Это – к вопросу о том, почему столь «простые» теоремы столь долгое время не давались математикам».
Излагаются некоторые мысли по истории аксиоматики (как аксиомы были «подогнаны» под потребность обоснования неевклидовых геометрий и т.д.). Ошибочность доказательств («гиперболических моделей») независимости Постулата.
Общее замечание о «доказательствах-моделях»: «Разрешить проблему, возникшую «по вине» бесконечности, применительно к ситуации, в которой бесконечность отсутствует – это как изобрести способ хождения по воде, апробированный и доказанный хождением по участку суши, принятому за модель водной поверхности».
(15.09.2017)
16.09. - ещё два доказательства Пятого постулата

Возможно, так долго считавшийся недоказуемым пятый постулат (аксиома параллельности) - доказан. Как известно, для пятого постулата допустимы многие, считающиеся эквивалентными, формулировки. Например: на плоскости через точку вне данной прямой проходит лишь одна прямая, не пересекающаяся с данной; существует прямоугольник, существует параллелограмм, существует трапеция; все сближающиеся прямые пересекаются и т.д.

Так вот, не так давно вышла книга, в которой несколько из формулировок этого ряда доказаны (хотя в принципе хватило б и одной):
Григорий Шевчук (Бутицкий) "Заклятая аксиома. Заметки о параллельности" ("Отчий край", Белгород, 2017; ISBN: 978-5-85153-162-0).

Доказательства очень просты (когда уже найдены), их нетрудно даже просто пересказать. Вот пересказ доказательства того, что существует прямоугольник. Даны три не лежащие на одной прямой точки M, N, O. Проведём прямые MO и NO, точка О - точка пересечения. От точки О расходятся четыре луча (полупрямых). На каждом из них отложим по ещё одной точке (всего - четыре, пусть это будут точки A, B,C, D), причём расстояния от каждой из новых точек до точки О должно быть одним и тем же (AO = BO = CO = DO). Построим четырёхугольник ABCD, затем легко доказывается, что ABCD - прямоугольник.

Принцип доказательства ясен: сначала строятся диагонали прямоугольника, а по их концам, принимаемым за вершины - сама фигура.

Ещё проще доказывается то, что все сближающиеся прямые обязательно пересекаются. Доказательство апеллирует к первой аксиоме геометрии: через любые две точки проходит прямая. Если сближающиеся прямые не пересекаются, тогда эта аксиома не выполняется, т. о., от противного доказано, что сближающиеся прямые пересекаются.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 22.10.2017 21:01.

А что тут доказывать-то? Имеется четырёхугольник, диагоналями разделённый на четыре треугольника с общей вершиной (точка пересечения диагоналей О). Треугольники, "боковые" стороны которых "выходят" из вершины О и "опираются" на противоположные стороны четырёхугольника, равны: по равенству двух сторон, которые по условию - равные отрезки (половины равных диагоналей) и по углу между ними (в этих треугольниках углы при вершине О равны как вертикальные). Т. о. получаем две пары равных "вертикальных" треугольника. Отсюда получаем, что противоположные стороны четырёхугольника равны и все его внутренние углы тоже равны. А такими свойствами обладает только прямоугольник. Используемые в этом доказательстве теоремы о равенстве треугольников и о вертикальных и смежных углах относятся к абсолютным теоремам, так что никакого "круга" в доказательстве не содержится. Для пущей убедительности можно (через те же теоремы) доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, являются их общими перпендикулярами и т.д. По-моему, всё чётко.

Но даже если бы доказательства найти не получилось, сама постановка вопроса заставляет отказаться от идеи, будто для геометрии равно допустимы два варианта параллельности: евклидов (через точку вне прямой проходит одна прямая, не пересекающаяся с данной) - и неевклидов (через точку вне прямой проходит множество прямых, не пересекающихся с данной). Так как тогда получается, что четыре точки (концы построенных нами диагоналей, принимаемые за вершины четырёхугольника) задают две различные фигуры: евклидову (прямоугольник) - и неевклидову (четырёхугольный остроугольник). Получается, что через каждую пару вершин проходит по две прямых, итого восемь. Четыре прямых евклидова варианта, пересекаясь в "вершинных" точках, образуют прямоугольник, - а четыре прямых неевклидова варианта образуют остроугольник. А это противоречит аксиоме о том, что через две точки проходит только одна прямая. уже поэтому вопрос о соотношении евклидовой и неевклидовой (гиперболической) геометрий требует пересмотра.

самое в этом доказательстве главное - это не его ход, а именно постановка вопроса о нём, задание его исходных посылок (условий по "дано"). То же относится и к доказательству, опирающемуся на первую аксиому геометрии (через любые две точки проходит прямая). Мне оно кажется интереснее (как бы остроумнее), чем предыдущее. Итак...

Допустим, даны прямая (b), точка вне этой прямой (А) и прямая (а), проходящая через указанную точку (А) и сближающаяся, но не пересекающаяся с данной (b) прямой. Тогда одна из прямых, проходящих через точку А и с прямой b пересекающихся, необходимо оказывается последней, "крайней" прямой, общей для точки А и точек, лежащих на прямой b. Т.е. получается, что точка А не может иметь общей прямой ни с одной из точек, расположенных на прямой b (в направлении её сближения с прямой а) на расстоянии, большем некоторого данного. Именно: большем, чем расстояние от точки А до той последней (в оговоренном направлении) точки на прямой b, с которой у точки А имеется общая прямая (та самая "последняя прямая").

Получается, что допущение существования сближающихся, но не пересекающихся прямых противоречит первой аксиоме геометрии. А значит, его следует отклонить как ложное. Из чего следует, что все сближающиеся прямые - пересекаются. Что и требовалось доказать.

Можно всё подать "подать" более кратко, но тогда "подача" получается "несколько чересчур" абстрактно. А это, наверное, усложнит восприятие. Примерно так:
допустим, что существуют две прямые, друг с другом сближающиеся, но не пересекающиеся. Тогда существует множество пар точек (таких, из которых одна лежит на одной из этих прямых, а вторая - на другой), не имеющих общей прямой. Что противоречит первой аксиоме и т.д.

Доказать нужно, но не очень. Для евклидовой геометрии то, что четырёхугольник с равными углами - это прямоугольник ясно само собой (360:4= 90), а в неевклидовой (гиперболической) геометрии четырёхугольник, стороны которого лежат на прямых, при пересечении образующих равные накрест лежащие углы, невозможен. Собственно, уже этого признака хватает, я же на него не ссылался потому, что в гиперболические премудрости "чтобы очень" не вникал и для меня это как-то !мутно" - то, почему там при пересечении двух пар прямых невозможны равные накрест лежащие углы. Зато мы можем доказательство существования четырёхугольника с равными противоположными сторонами и равными внутренними углами развить, и получить из него доказательство как "прямоты" углов нашего четырёхугольника, так и того, что сумма углов треугольника равна двум прямым. Уж извините, я этих доказательств приводить не буду, если интересно - попробуйте сами.
Но вот что забавно: про первое доказательство есть замечания (что то-то и то-то надо б доказать), а про второе (на основе первой аксиомы геометрии) - ни гу-гу. А ведь для доказательства Пятого постулата "достаточно одной таблэтки", т.е. единственной доказанной формулировки. Остальное - прилагается.

Почему доказывать в данном случае не очень нужно - я объяснил (потому что такие-то четырёхугольники в гиперболической геометрии невозможны). Если я говорю "можно доказать" - значит, знаю как. А насчёт допустимости, так допустимы любые выражения, если они - в пределах нормативов русского языка и по смыслу относятся к обсуждаемой теме. Доказательство четырёхугольника с равными противоположными сторонами и равными внутренними углами сначала не приводилось в виду его несложности, затем я его привёл. Общепринятое - не значит правильное. "Доказывать недоказуемость" начали только после того, как разочаровались в возможности доказать как теорему. Всерьёз рассматривать какое-то рассуждение (в нашем случае доказательство) следует тогда, когда оно того само по себе заслуживает и не поддаётся очевидному опровержению (не содержит очевидных, легко обнаруживаемых ошибок). Будут ли рассматривать "всерьёз" предлагаемые доказательства - почему это должно зависеть от того, доказана ли неверность "доказательства независимости"? А если кто-то сумел доказать Постулат, но не сумел отыскать ошибок в доказательстве его независимости или просто этим не занимался, то что, в истинности "доказательства независимости" невозможно усомниться? Просто из-за общепризнанности? При таком подходе мы бы до сих пор считали, что Земля - плоская.

В "Заклятой аксиоме" Г. Шевчука (Бутицкого) предложен десяток доказательств V постулата. О них не стоит говорить в том случае, если они - явное заблуждение. В противном случае их, как минимум, следует попытаться опровергнуть. А если не получится - придётся признать (может - раньше, может - позже). Если получится опровергнуть - далее и говорить не о чем. А если нет?

Тогда доказательство "независимости пятого постулата" оказывается ошибочным. И ошибку надо искать. Вы же поменяли местами причину и следствие: если существует доказательство Постулата, то, следовательно, доказательство его независимости есть заблуждение. А вот из ошибочности "доказательства независимости Пятого постулата" ещё не следует, будто доказательство этого постулата обязательно должно существовать.

И к слову: у меня есть соображения насчёт ошибочности "доказательств независимости" методом моделей. Но вот делиться ими я не считаю обязательным, так как это не имеет непосредственного отношения к вопросу об истинности или ложности доказательств Пятого постулата.

Пpивет, так там вот если взять " 2 сферических дуги, затем сложить из них квадрат! значит это раздел параболических кординат,, сферической геометрии : () wot ''.там и, это ответ. пока.

Цитата

По моему разумению в первую очередь, найдя слабости в чьей-то позиции, следует их устранить и постараться позицию (доказательство или что другое) максимально усилить. А если не получится, тогда браться за критику.

Разумение ошибочное. При появлении грубо безграмотного текста, противоречащего доказанным математическим фактам, следует на эту безграмотность указать.
А вот факт безграмотности можно продемонстрировать на примерах.

Цитата

Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), в своё время прозванный «королём математиков». В его письме «к другу и собрату по профессии Фаркашу Бойаи от 16 декабря 1799 г. мы читаем: “…если бы кто-либо мог доказать, что возможен такой прямоугольный треугольник, площадь которого больше любой заданной, то я был бы в состоянии строго доказать всю геометрию.

Автор же пишет

Цитата

Из контекста рассуждений Гаусса следует, что озадачившую его теорему можно сформулировать следующим образом: доказать, что наибольшего прямоугольного треугольника не бывает и быть не может.

Автор не понимает различия в этих утверждениях, которое понятно любому первокурснику.
Далее, автор пишет

Цитата

Или: всегда можно построить прямоугольный треугольник, площадь которого больше, чем у любого другого уже имеющегося прямоугольного треугольника.

Опять неэквивалентная переформулировка.
Автор не в ладах с логикой.

Одного примера невежества уже достаточно, но для развлечения дадим еще пример.

Цитата

Пусть АВn – последняя в направлении от В к ВZ прямая, пересекающая прямую b. Следующая прямая (а) прямую b не пересекает.

Автор уверен в том, что такая 'последняя' прямая существует. Доказать никогда не сможет. Как и не сможет доказать, что, например, существует самое маленькое положительное число. Не говоря уже о том, что понятие 'следующая прямая' бессмысленно.

Таких 'доказательств' автор может наклепать сотни и всякий раз требовать, чтобы кто-то в них искал ошибки.
у этого грамотея ошибки есть всегда!

Повторяю,
какие бы филькины грамоты автор ни издавал в помоечных издательствах, правды там ни на грош. Он НИКОГДА не сможет указать ошибку в общеизвестных доказательствах независимости 5 постулата.

shwedka, не кормите тролля. он как раз только и ждет повода для написания своих околофилософских портянок.

Здравствуйте-здравствуйте, как же - как же, знаю-знаю! Поздравляю-поздравляю! Наконец-то я допустил промах, который признаю и не отрицаю.
Промашка вышла с предельным треугольником. Предельный треугольник – это вовсе не треугольник, по смыслу близкий к наибольшему треугольнику гиперболической геометрии, а элемент одной из моделей, доказывающих её непротиворечивость (ниже мы ещё об этой модели поговорим). В гиперболическую геометрию я вникал лишь постольку, поскольку находил то желательным для исследования проблемы Пятого постулата. Вот и запутался. В приведённом высказывании Гаусса упомянут «предел» («могло бы быть, что площадь всегда будет ниже некоторого данного предела, сколь бы удаленными друг от друга в пространстве ни были предположены три вершины треугольника»), и у меня в памяти всплыл термин «предельный треугольник».
А так как я где-то (не помню где и не хочу сейчас искать) читал, что поскольку площадь измеряется «в квадратах» (квадратных величинах) и является понятием евклидовой геометрии, то термин «предельный треугольник» показался мне более подходящим, чем «треугольник наибольшей площади». Хотя в других изложениях гиперболической геометрии понятие площади употребляется - как так и надо. Вот таким манером и оплошал, признаю.
Только вот оплошность-то не большая. Не велика-то беда: убрать лишний термин («предельный треугольник»), заменить «наибольшим треугольником» - и всего делов-то. А всё остальное остаётся в силе. В силе остаётся даже утверждение о том, что, доказав невозможность наибольшего треугольника, мы тем самым опровергаем и тезис о предельном треугольнике. Ведь если «аксиома параллельности» доказана, то, следовательно, модели непротиворечивости гиперболической геометрии (доказательства независимости пятого постулата) – ошибочны. А значит, понятие предельного треугольника – тоже ошибочно.
Словом, от моей ошибки с неправильным употреблением названия ничегошеньки в хоть сколько-нибудь значимой мере не изменилось. Всё по-прежнему: на пять ранее приведённых доказательств «аксиомы параллельности» никаких вразумительных возражений не последовало (цеплянье к словам не в счёт). Тем более ни одно из них не было опровергнуто (и даже реальной попытки опровержения предпринято не было).

Зато Вам-то какой повод ещё раз, и эх, ещё раз, да ещё много-много раз прокричать про мою «невежественность»! Ну, что же: хотите – кричите. Как говорится «собаки лают, караван идёт»…
Я так понял, что Вы не захотели проявить смекалку, чтобы получить собственное доказательство «аксиомы параллельности», развив критику понятия «прямая, последняя из проходящих через данную точку и с данной прямой сближающихся и пересекающихся». А жаль. Вы заметили тот изъян в понятии гиперболической параллельности, который до сих пор не замечался либо сознательно игнорировался. Изъян этот состоит в абсурдном искажении понятия потенциальной бесконечности. Это искажение привносится вместе и в связи с принятием неевклидового допущения множества прямых, проходящих через данную точку и сближающихся, но не пересекающихся с данной прямой. Неявное утверждение существования «последней прямой» - одно из проявлений означенной абсурдности.
Правда, Вы это утверждение приписали мне, так как Вам хочется, чтобы все шишки – на меня. И опять толкуете о том, что-де это я «последнюю прямую» выдумал. Ну, полноте, не надо с больной головы - на здоровую. В геометрии Лобачевского параллельная (в направлении сближения) прямая – это первая (если считать от «данной прямой») из прямых, проходящих через данную точку и сближающихся с данной прямой в том же направлении, что параллельная, и, как и она, с нею не пересекающихся. Параллельную прямую ещё называют предельной прямой (Герш Глейзер, «История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей»; М., 1983, с. 251).
Она – предел: все прямые, после пересечения данной точки проходящие между нею и данной прямой, с последней пересекаются. А все прямые, между которыми и данной прямой (после прохождения через данную точку) оказывается параллельная - с данной прямой расходятся.
«Предельная прямая» - это и есть первая из непересекающихся, считая от «данной прямой» - или последняя из непересекающихся, считая «с другой стороны» (со стороны расходящихся прямых). Раз есть «первая непересекающаяся» прямая – следовательно, должна быть и «последняя пересекающаяся». Всё это ясно, и зачем огород городить?
Тем более, что я прямо заявил, что понятие последней прямой, неявно (хотя не так уж и «неявно») вводимое в гиперболической геометрии, считаю абсурдным. И что из его абсурдности следует, что понятие первой непересекающейся (предельной, гиперболической параллельной) прямой – тоже абсурдно. Повторяю, что у меня есть доказательство, суть которого передаётся тезисом: так как невозможна «последняя» сближающаяся и пересекающаяся с данной прямой прямая, то невозможна и «первая» прямая, сближающаяся, но непересекающаяся с данной.
Да, указание на наличие в гиперболической геометрии «последней пересекающейся» прямой – действительно, важный шаг в доказательстве ряда формулировок «аксиомы параллельности». Но это – не главное, это – лишь приём выяснения того, что «неевклидово допущение» противоречит аксиоме «через любые две точки обязательно проходит прямая». Указанное противоречие между неевклидовым допущением и данной аксиомой можно доказать и без этого приёма. Одно такое доказательство (придуманное благодаря Вашему невольному содействию-стимулированию) я привёл. Приведу ещё раз:

Если «первая аксиома» выполняется, то тогда данная точка, не лежащая на данной прямой, имеет общую прямую с каждой точкой данной прямой. В таком случае на этой прямой не остаётся ни одной точки, в которой какая-то из прямых, проходящих через данную точку, не пересекает эту прямую. По-моему, всё предельно ясно. Но (для особо упрямых) можно это доказательство подкрепить тоже фактически уже приводимой только, чуть иначе формулируемой, теоремой.

Если «первая аксиома» выполняется и через данную точку и всякую точку данной прямой проходит прямая, то невозможна прямая, проходящая через данную точку и сближающаяся, но не пересекающаяся с данной прямой.
Любая сближающаяся с данной прямой прямая проходит через треугольник, двумя сторонами которого являются отрезки, лежащие на проходящих через данную точку прямых (одна «слева», другая «справа» от «гипотетически непересекающейся» прямой), пересекающих данную прямую. У этих отрезков-сторон один конец – общий (данная точка), а два других различны (точки их пересечения с данной прямой). Третьей стороной будет отрезок, отсекаемый на данной прямой этими двумя пересекающими её прямыми. Поскольку наша гипотетическая прямая бесконечна, она должна какую-то сторону указанного треугольника пересечь. Стороны, лежащие на «боковых» («левой» и «правой») прямых, уже имеют с нею общую (данную) точку. А значит, «прямая-гипотеза» ни одну из них пересечь не может. Следовательно, она пересечёт сторону, лежащую на данной прямой. Следовательно, прямая, проходящая через данную точку и сближающаяся с данной прямой, но её не пересекающая – невозможна.
Тогда первой и последней прямой, не пересекающейся с данной, оказывается прямая, ни в одном направлении с данной прямой не сближающаяся и не расходящаяся. Это – прямая, параллельная данной прямой «евклидовой» параллельностью. Вот так-то.

Теперь – о наибольшем гиперболическом треугольнике и о его связи с «последней прямой». В гиперболической геометрии сумма углов треугольника меньше 180 градусов, т. е. равна (2d минус «дельта»), величина "дельта" называется дефектом треугольника (в евклидовой геометрии этот «дефект» равен нулю). Так как угловой дефект по определению не может превзойти 2d, то и площадь треугольника не может стать больше некоторой определённой конечной величины. Попробуем наглядно представить себе, почему.
Угловой дефект увеличивается по мере увеличения перпендикуляра, падающего из точки, через которую проходит прямая, гиперболически параллельная данной прямой, на эту данную прямую. Угол между перпендикуляром и гиперболической параллельной называется углом параллельности, он всегда острый (в евклидовой геометрии угол параллельности всегда прямой). Чем дальше от данной прямой расположена точка, через которую проходит параллельная данной прямой, тем меньше («острее») угол параллельности и тем больше его угловой дефект.
Чем больше размеры треугольника, то есть чем дальше вершина треугольника (= данная точка) удаляется от данной прямой линии (и чем больше становится дефект треугольника), тем больше его площадь. Но это возрастание площади имеет предел. На очень-очень большом расстоянии от данной прямой угол параллельности всё ближе к нулю, и любой треугольник, с вершиной в такой очень-очень далеко от данной прямой расположенной точке и с основанием, расположенным на данной прямой, начинает как бы «стремиться к прямой» (его боковые стороны «очень-очень сближаются», «стремятся совпасть»).
(«Лобачевский доказывает несколько ключевых теорем. Если угол “альфа”» (угол параллельности) «равен 90 градусов, то мы приходим к евклидовой аксиоме о параллельных. Если угол “альфа” острый, то при неограниченном росте a» (перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой) «он монотонно убывает и стремится к нулю»).
Следовательно, и площадь этого треугольника стремится к нулю. Значит, наибольший треугольник – это треугольник, у которого площадь, благодаря весьма значительному расстоянию вершины (данной точки) от данной прямой достигла максимальной величины (так что назвать такой «максимальный» треугольник «предельным» по смысловой сути вовсе не неправильно; просто принятая терминология именует так нечто другое). Дальнейшее увеличение высоты треугольника (= увеличение его дефекта = уменьшение угла параллельности и угла при вершине в данной точке) ведёт уже не к увеличению, а к уменьшению его площади.

Если бы не было последней прямой, сближающейся и пересекающейся с данной прямой, тогда наибольший гиперболический треугольник был бы невозможен. Ведь тогда всегда возможно из вершины («данной точки») провести прямую, пересекающую данную прямую в такой точке, что образуемая при этом «новая сторона» больше любой уже имеющейся. Тогда площадь треугольника не была бы ограничена, и по мере возрастания его высоты (при прочих равных условиях) тоже бы (бесконечно) возрастала.

Вот ещё одна теорема, доказывающая возможность треугольника, площадь которого больше площади любого заданного треугольника (т.е. доказывающая то, что наибольший треугольник невозможен и что, следовательно, возможен треугольник сколь угодно большой площади). Через две любые точки всегда проходит прямая. Следовательно, по отношению к любому треугольнику всегда имеются такие три точки, что, приняв их за вершины «нового» треугольника, мы получим такой треугольник, что предыдущий треугольник будет находиться «внутри» вновь построенного.
Замечу следующее: похоже, что чем проще и непосредственнее доказательство «аксиомы параллельности», тем позже оно отыскивается-открывается, т.е. тем сложнее даётся уму путь к нему. Это – к вопросу о том, почему столь «простые» теоремы столь долгое время не давались математикам.

Вы так страстно твердили заклятия о том, что мне никогда и ни за что не удастся опровергнуть общепризнанные доказательства независимости пятого постулата, что я решил попытаться. Вернее, решил всё-таки изложить некоторые уже имеющиеся у меня соображения по этому поводу. Конечно, я стою на том же: если из представленных доказательств «аксиомы параллельности» хотя бы одно истинно, тогда «аксиоме параллельности» следует отказать в независимости. Следовательно, тогда и доказательства её независимости необходимо признать ложными. Но, раз уж Вы так настаиваете, буквально – хоть и совсем не вежливо - уговариваете…

Лично меня сразу насторожило то, что в моделях, доказывающих независимость пятого постулата и непротиворечивость гиперболической геометрии (да и в моделях прочих неевклидовых геометрий) отсутствует такая вещь, как потенциальная бесконечность (вернее, потенциальная бесконечность увеличения, или экстенсивная бесконечность). Даже не то, что насторожило – просто бросилось в глаза. Ведь наибольшая трудность при рассмотрении параллельных прямых, как принято считать, заключается именно в их бесконечности. А в моделях именно то, что особенно затрудняет – отсутствует. Убрали-изъяли. Вроде бы ловко и правильно: суметь обойти то, что мешает (по рецепту народной мудрости: умный в гору не пойдёт…).
Но что такое «модель»? Идея модели зиждется на том, что есть исходные неопределимые понятия (первопонятия). Поэтому настаивать, что прямая – это обязательно та линия, которую мы себе при этом слове («прямая») представляем – не правильно. Прямая – это такая линия, которая удовлетворяет требованиям аксиом (то же справедливо и в отношении других неопределимых понятий). Отсюда делается вывод, что возможны модели (интерпретации), в которых в роли прямых выступают иные линии (тоже удовлетворяющие требованиям аксиом), а не привычные для нас «закоснелые» представления. «Каждая аксиоматическая система содержит неопределяемые понятия, свойства которых задаются только аксиомами. Смысл неопределяемых понятий не зафиксирован раз и навсегда. … неопределяемые понятия… можно интерпретировать как угодно, лишь бы вводимые объекты удовлетворяли аксиомам» (М. Клайн).
Возьмём так называемую круговую модель гиперболической плоскости Кэли-Клейна (или, как её ещё называют, плоскость Лобачевского). В качестве гиперболической плоскости (плоскости Лобачевского) принимается внутренность некоторого круга. А его контур – т.е. окружность – исключается. Эта окружность-контур называется предельной окружностью. В этой модели непересекающиеся хорды интерпретируются как параллельные прямые, а вписанный в предельную окружность треугольник называется предельным треугольником (помните? так я по ошибке назвал наибольший треугольник). Считается, что все стороны предельного треугольника – параллельны.
Так вот: при принятии множества внутренних точек круга за плоскость, а хорд – за прямые, на этой модели якобы имеют силу все аксиомы евклидовой геометрии, кроме – «аксиомы параллельности». Она заменена аксиомой гиперболической геометрии («в плоскости, определяемой некоторой прямой “a” и точкой “P”, не лежащей на этой прямой, через точку “P” можно провести более одной прямой, не пересекающей прямую “a”»). Хорды-прямые, мол, соответствуют всем требованиям, предъявляемым к прямым евклидовыми аксиомами (в евклидовой и в гиперболической геометрии прямые совершенно одинаковы).

Теперь чуть отвлечёмся. Как известно, в геометрии предложения, имеющие права на истину, делятся на аксиомы и теоремы. Наверное, все мы из школьной геометрии помним, что прямая линия продолжается безгранично (что прямая - бесконечна). Вопрос: к какой из двух этих групп предложений относится данное утверждение? Оно недоказуемо – следовательно, решим мы, это аксиома. И ошибёмся. В современном наборе аксиом («от Гильберта») такая аксиома отсутствует. В аксиомах Евклида она была (второй постулат: требуется, чтобы каждую прямую можно было неопределённо продолжить). Но главный конструктор современной аксиоматики Давид Гильберт (1862-1943) эту аксиому в свой набор аксиом не включил. Как не включил и третий постулат Евклида, требующий, «чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом».
Получается странная ситуация: есть предложение, без которого элементарная (евклидова) геометрия немыслима, – и это предложение никак не классифицировано, просто «висит в воздухе». Если оно – не аксиома, тогда мы можем не продолжать прямую (если, например, не захотим, чтобы она пересеклась с каким-то объектом, с которым при её продолжении пересечётся). И можем с полным правом заявить, что наша прямая с данным объектом не пересекается. Возражением, что у нас не прямая, а отрезок, мы смело можем пренебречь или просто над ним посмеяться: у нас – прямая, и никакие аксиомы или теоремы противного не докажут. Но есть одна трудность: аксиома, требующая общей прямой для любых двух точек.
Раз действует эта аксиома, то прямая имеет продолжение везде, где есть точки. Но есть ещё одно "но": исключение аксиомы о бесконечности прямой означает и исключение из аксиоматики требования (утверждения) экстенсивной бесконечности. А это - неопределимое перво-понятие, и теперь оно аксиомами никак не вводится и косвенно не определяется. А какая же без этого понятия геометрия? Зато теперь, раз экстенсивная бесконечность уже не необходима (не требуется аксиомами), мы имеем право ограничить распространение геометрических построений и операций некоей замкнутой ограниченной областью плоскости. Различие между прямыми и отрезками при этом размывается и устраняется. На ограниченном участке плоскости прямой окажется наибольший из отрезков, проходящих через данные две точки (т.е. отрезок, упирающийся концами в границы). Поэтому хорды (а это именно такие "максимальные" отрезки) вполне подходят под то, как аксиомы Гильберта косвенно определяют понятие прямой.
Но, может быть, экстенсивная бесконечность для геометрии действительно не необходима? Нет, необходима. И об этом свидетельствует то, что, никак не определяя и не вводя экстенсивную бесконечность официально, геометрия (и евклидова, и гиперболическая) вводит её фактически, неявно-неформально. Однако в математике всё должно быть формально, неформальное значит - не законное, не имеющее права на истину. А формальное введение (косвенное определение) понятия экстенсивной бесконечности означает установление чёткого разделения между прямыми и отрезками.
Отличие между отрезком и прямой линией в аксиоматике Гильберта устранено. Поэтому хорды (а это отрезки) вполне подходят под то, как («косвенным образом») его аксиомы определяют прямую.
Разумеется, в школе нас обязательно учат тому, что прямые линии – бесконечны (и тем самым задаётся экстенсивная бесконечность - как то, что позволяет прямым неограниченно нескончаемо продолжаться. Но этому нас учат контрабандным обпразом, вопреки официально принятой аксиоматике. Или, так сказать, в рамках неформального («теневого») кодекса математической корпорации. Когда же и как такая странная ситуация сложилась? Разберёмся.
В последней трети XIX века математики постепенно (в своём большинстве) приняли гиперболическую геометрию. Это были люди нового поколения, с юности к идеям неевклидовых геометрий привычные и потому не воспринимавшие их в штыки. Значительное влияние на них оказало, в частности, и то, что, как после смерти Гаусса из его записей стало известно, «король математиков» разрабатывал гиперболическую геометрию ещё до Лобачевского и до Я. Бойаи. «После появления работ Гаусса и Римана не только основатели новой науки, но и их последователи уверовали в непротиворечивость неевклидовой геометрии (т.е. в то, что никакие ее теоремы не противоречат другим теоремам), которая отнюдь не была доказана» (М. Клайн).
Ясно, что сторонникам новых геометрий хотелось их доказательно обосновать. Конец XIX века – это время, когда в научной атмосфере витали идеи конвенциализма (философское учение, по которому базисные истины суть конвенции, или соглашения, заключаемые учёными, или, как сегодня модно говорить - «экспертами»). Растущее признание гиперболической геометрии и распространение идей конвенционализма – это вовсе не независимые друг от друга процессы, случайно совпавшие во времени-пространстве. Это – две стороны одной медали.
Основоположник конвенционализм, математик и физик Анри Пуанкаре именно исходя из равной допустимости «многих математик» сделал вывод о том, что аксиомы, постулаты, определения, соглашения – это всё, в сущности, синонимы. И ещё: хотя главным зачинщиком конвенциализма был Пуанкаре, но, то было, по сути, коллективное творчество. Словом, по сговору ли или на волне единодушного энтузиазма и молчаливого взаимопонимания, но неудобные для доказательства «независимости пятого постулата» аксиомы были устранены («…открытие неевклидовой геометрии привело к новым исследованиям в области оснований геометрии, и в частности к аксиоматике Гильберта», - Глейзер, с. 262).
Неудобство этих аксиом состояло в том, что они утверждали потенциальную бесконечность как необходимый базис (фон, фундамент, основной предмет) геометрии. Для неевклидовых построений экстенсивная бесконечность не оставляет места (тогда, самое большее, неевклидовы геометрии оказываются некими допустимыми системами в рамках евклидовой геометрии, - так к ним в начальный период их признания многие математики и относились). Вот Гильберт и устранил эти «аксиоматические неудобства» в своём труде «Основания геометрии» (1899). «Давид Гильберт (1862-1943)… предложил свой вариант аксиоматического построения евклидовой геометрии, который наиболее широко используется в наши дни. На едином дыхании он заложил основания неевклидовой геометрии Ламберта, Гаусса, Лобачевского и Бойаи, а также других геометрий, созданных в XIX в.» (М. Клайн).
В итоге аксиоматику подогнали под модели-доказательства гиперболической геометрии (а также и пр. неевклидовых геометрий). Опять (как и при восприятии «неевклидова допущения») имеем загодя данный ответ и подгон вопроса под этот некритично принятый ответ. Но теперь не как непроизвольный, подсознательный акт – а как намеренное осуществление определённой конвенции (заключённой ли по всей форме путём голосования или всего лишь «молчком» подразумеваемой – не важно).
Разрешить проблему, возникшую «по вине» бесконечности, применительно к ситуации, в которой бесконечность отсутствует – это как изобрести способ хождения по воде, апробированный и доказанный хождением по участку суши, принятому за модель водной поверхности. Такой метод, действительно, верх ловкости-изощрённости: «…в отличие от других аксиом, касающихся фигур ограниченных размеров, аксиома параллельности Евклида относится к неограниченной прямой и никогда не может быть проверена с помощью непосредственного эксперимента, который может быть проведён лишь в ограниченной части пространства. … И вот как раз в пределах ограниченной части плоскости, как бы эта часть ни была велика, можно провести через данную точку множество прямых, не пересекающих данной прямой. Внутри круга любого конечного радиуса существует множество “прямых” (т.е. хорд), проходящих через точку C и не встречающих “прямой”AB» (Глейзер, с. 249).
Любопытно, что, хотя непротиворечивость гиперболической геометрии доказывается на пространственно ограниченных моделях, а евклидова геометрия имеет дело с бесконечностью, именно гиперболическая геометрия считается применимой во вселенских масштабах, а евклидова, мол, подходит лишь для не особо большой части космоса:
«…физика изучает в конечном счёте только ограниченную, сравнительно небольшую часть пространства. Вот почему в окружающей нас среде (даже в пределах нашей планеты) свойства физического пространства приблизительно таковы, какими мы их знаем из евклидовой геометрии, но для всего пространства, для мира звёзд, для вселенной в целом, они иные, неевклидовы» (Глейзер, с.253).
Бесконечность была козырной картой разработчиков гиперболической геометрии: мол, раз прямые бесконечны, то именно поэтому мы можем предположить их «сближение без пересечения». А для доказательства равноправности «новой геометрии» с евклидовой так подстроили аксиоматику, чтобы она больше не предъявляла к прямой требования «бесконечно продолжаться». При этом фактически (в рамках научной практики) «гиперболические» прямые остаются по-прежнему бесконечными (они даже «более бесконечны», чем «евклидовы» прямые, так как гиперболическая геометрия не ограничена частью космоса, а объемлет весь «мир звёзд»).
И не возникает вопроса о том, на каком основании прямая считается бесконечной, по какому праву прямым приписывается свойство нескончаемости? Если аксиомы этого не требуют, и нет теоремы, это доказывающей?
Понятие бесконечной прямой аксиоматикой «от Гильберта» низведено до незаконного, контрабандного. Математики этого не замечают просто потому, что в их умах всё так же действует Евклидова аксиома о неограниченном протяжении прямых. Формально эта аксиома вычеркнута, а фактически она продолжает действовать, ибо за века стала частью плоти и крови геометрии. Незаконно не её продолжающееся действие – незаконно её исключение из «списка».
Конечно, Гильберт, Пуанкаре и их единомышленники вовсе не хотели никого обмануть и вовсе не пытались «смошенничать». Они просто чересчур – до безоглядности – убедили себя в истинности неевклидовых геометрий. А в связи с этим уверовали и в то, что путь к истине пролегает через соглашения, заключаемые знатоками. И что их долг - попытаться выработать наилучшие из возможных и всех (или большинство) устраивающие базисные «истины-конвенции». В области оснований геометрии Гильберт (как представитель всего сообщества математиков) эту ответственную миссию взял на себя.
Но если здесь отсутствует намеренный обман, то присутствует искренний самообман. Гильберт обманулся - и невольно обманул (или: в его лице поддалось самообману) всё математическое сообщество и вообще всех, изучающих математику (вплоть до школьников). «Глупость умных людей с ясной головой и узким кругозором породила много катастроф» (А. Уайтхед).

Хочу заметить, что здесь мной изложены лишь некоторые соображения, которые ещё до конца не проработаны, особенно – в их исторической составляющей. Но то, что аксиоматика «от Гильберта» подогнана под «модели» неевклидовых геометрий, несомненно. Несомненно и то, что если Пятый постулат приведёнными мной доказательствами действительно доказывается, то доказательства его независимости (модели гиперболической геометрии) просто не могут не быть ложными.
Например, если доказательство существования прямоугольника имеет силу, тогда прямоугольник возможен и на «гиперболической плоскости» (поскольку там существуют три не лежащие на одной прямой точки). А тогда для гиперболической плоскости надо будет признать и правомочность евклидовой параллельности. Тогда хорды придётся признать тем, чем они являются – отрезками, а гиперболическую плоскость – не самодовлеющей плоскостью, а частью евклидовой. Всего-то делов-то.
Но если мной приведённое «доказательство прямоугольника» и не правильно – не беда. Главное, чтобы было истинным хотя бы одно из доказательств Пятого постулата. Любое из них доказывает «евклидову параллельность». Следовательно, обязательно будет дано и «доказательство прямоугольника» – просто тогда другим способом. И существование прочих трапеций и параллелограммов тоже обязательно будет доказано.
Повторю ещё раз: для того, чтобы иллюзия изолированной кругообразной плоскости была развеяна, «достаточно одной таблэтки», т.е. достаточно доказательства единственной (всё равно какой) формулировки «аксиомы параллельности».

Shvedke: на Ваши «шпильки» отвечать (сейчас, по крайней мере) не буду. Просто нет желания. Как-то это несерьёзно. Но вот одному Вашему выверту внимание уделю, так как не только меня он касается:
Цитата: «…какие бы филькины грамоты автор ни издавал в помоечных издательствах, правды там ни на грош».

Кажется, Вы всерьёз уверены, что нормы русского языка, - в частности, такая норма, как элементарные приличия употребляемых выражений, при обсуждении математических тем не обязательны. Так, наверное, вы понимается свою максиму: В математике – свои критерии допустимости. Ну, чем Вам издательство-то насолило? Зачем Вы посторонних, не имеющих к нашему спору, незнакомых Вам людей – хаете?
Кажется, что, будь Ваша воля, то ввели бы математическую цензуру, дабы не допустить публикации текстов, противоречащих Вами разделяемым математическим идеям. Это, знаете ли, средневековьем попахивает, прямо какой-то «математический терроризм».
Смею полагать, что математические критерии диалога предполагают всё-таки свободное, с хотя бы минимумом уважительного отношения к оппонентам, обсуждение. А не стремление заткнуть «инакомыслящим» рты и не лексику на грани нормативной (но уже за гранью приличной).



Редактировалось 1 раз(а). Последний 27.08.2017 12:49.

Опять Вы за своё…
Цитата: Раз есть «первая непересекающаяся» прямая – следовательно, должна быть и «последняя пересекающаяся».
Недоказанное утверждение. пример. Если есть первое число, не превосходящее 1, то есть последнее число, большее 1. БРЕД!!!

Если бред, то эта оценка (как бреда) должна быть отнесена к понятию гиперболической параллельности – а конкретно к тому, как она обращается с категорией бесконечного. Гиперболическая параллельность предполагает, что прямые, проходящие через данную точку и сближающиеся с данной прямой, пересекаются с нею, пересекаются, пересекаются - а затем перестают с нею пересекаться, а начинают просто «вечно» приближаются» к ней. Раз так, то на данной прямой должна быть точка последнего пересечения – как же иначе? Или такой точки нет, и прямые, проходящие через данную точку и сближающиеся с данной прямой, пересекают её во всех её точках?
Если так (а это действительно так), тогда надо признать, что прямая, сближающаяся с данной, но её не пересекающая – иллюзия, выдумка. А то придётся утверждать, что существование сближающихся, но не пересекающихся прямых совместимо с существованием прямых, проходящих через данную точку и пересекающих данную прямую во всех её точках. Вот это – действительно, бред.
Если же настаивать на том, что прямая, сближающаяся с данной, но не пересекающая, её существует – тогда надо признать следующее. На данной прямой существует граница, делящая все точки данной прямой на два множества. Точки, лежащие до границы, имеют по общей прямой с данной (находящейся вне прямой) точкой. А точки, лежащие по другую сторону границы, прямых, общих с данной точкой, не имеют. Границей на прямой может быть только точка, в нашем случае это - последняя (крайняя, граничная) точка, имеющая общую прямую с данной (вне прямой) точкой. Эта прямая и является последней прямой, проходящей через данную точку и пересекающей данную прямую. А гиперболическая параллельная (по определению) – первая из тех проходящих через данную точку и сближающихся с данной прямой прямых, которые с данной прямой не пересекаются.
Конечно, я не думаю, что Вам это не понятно. Но Вам очень не хочется это признавать, а значит убеждать Вас – напрасный труд. И напрасный труд с Вами спорить – спора просто не получается, здесь спор и не присутствовал. Вместо логических аргументов Вы отделываетесь оценочными суждениями (грубо говоря – обзываетесь). На оценки Вы щедры: социологические, психологические, даже медико-диагностические. Только почему-то не высказываетесь по существу обсуждаемых математических вопросов. Единственный весомый Ваш аргумент позаимствован у Кузьмы Пруткова: этого (доказательства Постулата и опровержения доказательств его независимости) не может быть, потому что не может быть никогда.
Будете читать, не будете – Ваше личное дело. Но мне бы хотелось, чтобы Вы не засоряли тему «оценочными обзываниями», а спорили по существу. Опровергните приведённые доказательства, опровергните хотя бы следующее:
Точка, лежащая вне данной прямой, имеет общую прямую с любой точкой (= по общей прямой со «всеми» точками) данной прямой. Справедливость этой теоремы прямо следует из аксиомы: через любые две точки проходит прямая.
Очевидно, что в таком случае невозможна прямая линия, проходящая через данную точку и сближающаяся с данной прямой, но не пересекающая её. И это «очевидное» можно доказать (доказательство уже дважды ранее приводилось).
Докажите хотя бы то, что при гиперболической параллельности выполняется первая аксиома геометрии: через любые две точки проходит прямая. Только так Вы можете опровергнуть приведённые доказательства Пятого постулата и отстоять опровергнутые доказательства его независимости. Если не можете или не готовы – не засоряйте тему. Впредь отвечать буду Вам лишь в том случае, если будете не обзываться, а аргументировать. Вернее, так: если будете не только обзываться (на здоровье, если нравиться) – но и аргументировать.
Напоследок остановлюсь на паре некогда (уже «давно») высказанных Вами суждений..
Цитата: Если утверждение противоречит доказанному факту, то его доказательство всерьез не рассматривается и ошибки не ищутся. Точно так же, как никто не станет анализировать доказательство ошибочности теоремы Пифагора. … Тысячи безграмотных опровергателей плодят свои 'доказательства', и только поиском забавы объясняется то, что некоторые из этих 'опровержений' кто-то читает.

Вы чересчур высокомерно относитесь к людям: если кто-то чем-то занимается, с чем Вы не согласны – значит, этот «кто-то» не совсем полноценный (по сравнению с Вами) человек. А Вы бы лучше спросили себя: почему никто не старается опровергнуть теорему Пифагора – а опровергнуть доказательства независимости Пятого постулата пытаются, по Вашим словам, «тысячи»? Ответ очевиден: потому что аргументация Пифагора их устраивает, а вот в доказательстве независимости Пятого постулата им видится некая червоточинка. Вот люди и стараются разобраться. Не получается? Ну, что же, не у всех всё и всегда получается – зачем же сразу ярлык цеплять? А искать забаву в том, чтобы поиздеваться над теми, кого почему-то считаешь ниже (хуже, глупее) себя – опасное развлечение. Можно крупно напороться. Например, сам развлекающийся может попасть в глупое или смешное положение. В жизни такое – сплошь и рядом.

Специально вопросом о несостоятельности доказательств «независимости» Пятого постулата (т.е. критикой «гиперболических моделей») я не занимался. Соображения по этому поводу возникли сами собой, в ходе исследования проблемы параллельности и разработки доказательств «аксиомы параллельности». Что если такие доказательства возможны и окажутся истинными, то доказательства «независимости» Пятого постулата следует признать (без всякого дальнейшего разбирательства) ложными – это ясно и очевидно, даже самоочевидно. Поэтому выяснение ошибок в «доказательствах независимости» - вопрос для разрешения проблемы параллельности далеко не насущный.
Однако, естественно, по ходу исследования Пятого постулата некоторые соображения по этому ненасущному вопросу у меня возникли. Излагать их я вовсе не собирался, так как, во-1-х, к обсуждаемой теме («Доказательство V постулата») они не относятся. Во-2-х, эти соображения не были в достаточной степени проработаны. В-3-х, хотя вопрос о составе и природе ошибок, допущенных в «доказательствах независимости», сам по себе несущественен, но рассмотрение его необходимо должно поднять важные вопросы такой принципиальной области, как аксиоматика. Конечно, исследование параллельности уже само связано с вопросами аксиоматики, но дальнейшее углубление в эту область в мои планы не входило.
Поскольку же мной всё-таки вопрос о несостоятельности «доказательств независимости», а в связи с ними и вопросы специально аксиоматики оказались затронуты, – доскажу то, что могу по ним сказать, до, так сказать, «логического абзаца».

Когда авторитетные геометрические эксперты нам говорят, что в модели гиперболической (Лобачевского) плоскости имеют место все аксиомы абсолютной геометрии (т.е. все аксиомы евклидовой геометрии «минус» пятый постулат), мы склонны им верить. Склонны настолько, что верим и даже не допускаем мысли, что эксперты могли ошибиться. Но, поневоле занявшись аксиоматикой и взявшись за внимательное вчитывание в аксиомы, я обнаружил, что не все абсолютные аксиомы имеют место на плоскости Лобачевского. А именно: мне кажется, на «плоскости Л» не выполняется следующая аксиома: для различных точек А и С на прямой АС найдётся по крайней мере одна точка В такая, что С лежит между А и В.
Роли прямых на плоскости Л исполняют хорды, т.е. отрезки. У каждого отрезка по два конца. Так вот: для являющихся концами точек («для концов») эта аксиома не выполняется. Сами концы хорд лежат на окружности, которая уже за пределами плоскости Л., но так что эти «концы» не принадлежат «прямым», которые «меньше» хорд на две точки. Но у таких «прямых» есть свои концы, так что от исключения из рассмотрения концов хорд ничего не меняется.
Если за точку С принять «конец» «прямой», а за точку А любую другую её точку, тогда на «прямой» АС (а значит, и на плоскости Л) мы не найдём ни одной точки В такой, чтобы, чтобы С лежала между В и А. Уже поэтому, как мне кажется, указанная модель «независимости» пятого постулата не доказывает.
Взявшись за вопросы аксиоматики, мы оказываемся на весьма зыбкой почве. Вроде бы всё здесь очевидно, и никаких подвохов поэтому мы не ожидаем. Однако это впечатление очевидности уже само по себе чревато: принятое нами за очевидное может оказаться недостаточно очевидным или вовсе неочевидным. Поэтому я и говорю, что мне «кажется», что указанная аксиома на плоскости Л не выполняется. Хотя мне кажется, что это – очевидно. Чтобы это утверждать безоговорочно, надо, опять же «как мне кажется», поглубже вникнуть в проблемы аксиоматики, проникнуться этими проблемами, - я же рассматриваю их «по ходу дела».

Поэтому мной было упущено, пожалуй, самое важное обстоятельство сложившейся в области аксиоматики (или, вернее, философских оснований геометрии) ситуации. А именно: смешение таких понятий, как актуальная (абсолютная) и потенциальная (относительная) бесконечности. С указания на это обстоятельство следовало начинать, так как без этого нельзя понять ни мотивов, ни логики проделанной Гильбертом «перестройки» Евклидовых начла.
Это значит, что придётся обратиться к вопросам о соотношении актуальной и потенциальной (а внутри этой последней – соотношением экстенсивной и интенсивной) бесконечностей, к рассмотрению значения и смысла упомянутой путаницы и т.д.

Цитата: Раз так, то на данной прямой должна быть????? точка последнего пересечения – как же иначе? должна быть? Докажите!! Риторический вопрос доказательством не является.

Вопрос не такой уж риторический: если не так – то как? Да, этот вопрос - формальность, и тот, кто понимает, что иначе быть не может, вправе воспринять его как риторический. Но для несогласных с тем, что «иначе быть не может», этот вопрос перестаёт быть формальностью и приобретает вполне серьёзный характер. Ибо «при несогласии» следует задуматься: Если иначе – то как? А так как Вы не согласны, то должны бы над вопросом подумать и отыскать и предложить свой ответ, который бы опроверг ответ, предложенный мной. А Вы моё решение вопроса оцениваете как голословное, однако почему-то своего решения не предлагаете.
Кстати: утверждение о том, что в допущенном случае все точки прямой разбиваются на два множества, доказано было, хотя и не «разжёвано». Надо внимательнее читать, вдумываться в читаемое. А не просто искать, к чему бы (к какому бы слову, вопросу, выражению) придраться. Давайте попробуем ещё один способ объяснения – особо подробный для особо несогласных. Пойдём от противного.
Пусть прямая линия на два означенных множества (имеющих и не имеющих общую с данной точкой прямую) точек не делится. Тогда возможны только три варианта.
1). Все прямые линии, проходящие через данную точку и сближающиеся с данной прямой линией, с нею пересекаются.
2). С данной прямой линией не пересекается ни одна из означенных прямых.
Ни один из этих вариантов не отвечает условиям гиперболической параллельности. Правда, возможен ещё один вариант: 3). Некоторые прямые с данной прямой пересекаются, другие – не пересекаются, а третьи – и не пересекаются, и не «не пересекаются».
Этот вариант гиперболическую геометрию как раз устроил бы – если бы не был абсурден.
Вернее, так: неявно и безотчётно как раз этот вариант гиперболической параллельностью и подразумевается. «Третьи прямые» - это такие прямые линии, которые проходят через внутреннюю область «особого угла». Вершина этого угла – «данная» точка. Его стороны - последняя прямая, пересекающая данную прямую, - и первая прямая, «данную» не пересекающая (ей параллельная).
«Третьи прямые» не могут с «данной» прямой линией ни пересекаться (уже есть последняя пересекающаяся), ни не пересекаться (уже есть первая непересекающаяся). Поскольку такие «третьи прямые» невозможны (их допущение есть абсурд), постольку гиперболическая параллельность является ложным допущением.
Остаётся предположить, что через точки внутренней области «особого угла» прямые, пересекающие его вершину (данную точку), почему-то не проходят. В то же время через вершину (данную точку) и точки внутренних областей углов, образуемых разнонаправленными параллельными линиями, прямые линии проходят (ультрапараллельные, или расходящиеся относительно данной прямой). Выявляется просто образцовое противоречие (т.е. опять – абсурд): точки внутренних областей углов с вершиной в данной точке иногда имеют общие прямые с вершиной (данной точкой), а иногда – не имеют. Отсюда следует опять-таки то же самое: что гиперболическая параллельность – ложное допущение.
Вот и получается, что, так как невозможна последняя прямая, проходящая через данную точку, сближающаяся с данной прямой и её пересекающая, то невозможна и первая прямая, проходящая через данную точку и с данной прямой сближающаяся, но её не пересекающая. Первой и последней прямой, не пересекающейся с данной, оказывается прямая, параллельная данной «евклидовой параллельностью» (т.е. ни в каком направлении с нею не сближающаяся и не расходящаяся).
Если такие «расклады» точек и прямых Вас не устраивают – предложите свой. А объявить риторическим, голословным, ложным, можно любые идеи, мысли, тексты и может это – всякий, кому только не лень. Но таким заявлениям-объявлениям, если они ничего «более правильного» взамен не предлагают, цена – грош ломаный в базарный день.
Ну, а если даже (вообразим на минуту) атакуемое Вами отдельно взятое доказательство несостоятельно, что это меняет? Доказательств «много», все они друг с другом согласуются, друг друга подтверждают. Причём появляются новые доказательства. И (теперь, т.е. после того, как к ларчику параллельности в «Заклятой аксиоме» были подобраны ключи) появляются не в результате натужных раздумий. А по ходу разговора, естественно, как будто «сами собой», как бы играючи. Это тоже – показатель. Хотя и косвенный, но (для непредвзятого человека) заслуживающий внимания.
Да пусть (допустим ещё на минуту) половина доказательств или даже они все, кроме одного – ошибочны, опять же: что это меняет? Если «достаточно одной таблэтки»?

Ещё одно доказательство Пятого постулата (одной из «формулировок-эквивалентов»).
Аксиома о том, что для различных точек A и C на прямой AC найдётся по крайней мере одна точка B такая, что C лежит между A и B, может послужить отправным пунктом для ещё одного доказательства Пятого постулата. Отталкиваясь от этой аксиомы, можно доказать теорему, беспокоившую Гаусса: для любого заданного треугольника существует треугольник большей площади, чем заданный. Представим треугольник ABC. На стороне сторону AC отметим точку D. Согласно указанной аксиоме, на прямой линии AC имеются точки E и F такие, что точка-вершина A находится между D и E, а точка-вершина C – между D и F. На прямой же линии BD имеется точка N такая, что точка-вершина B находится между D и N. Приняв точки E, N, F за вершины, получим треугольник ENF больший (занимающего лишь часть его внутренней области) треугольника ABC.