Счётное множество шестёрок

Шестёрка различных взаимно простых в совокупности целых чисел называется квадратной, если при любом разбиении её на две тройки сумма чисел в одной из троек - точный квадрат.
Докажите, что существует бесконечно много квадратных шестёрок.
(Н. Агаханов, И. Богданов)

Если под целыми числами авторы имели в виду не обязательно положительные числа, то задача решается легко.
Любая шестёрка вида $(1, -1, 4n^2, -4n^2, 4n^4, -4n^4)$, где $n$ - целое число, большее 1, удовлетворяет условию задачи.

Однако интуиция подсказывает мне, что должно существовать решение и для натуральных чисел.
Пожалуйста, помогите решить.
Зарангеш благодарю!

-----------------------------------------------------

И не ракета орлиная Таню берегла, и дни лежат в небе тем лесом.

Наш Вася Тараканечкин променял-таки Кацечку на Тацечку (Кацечка и Тацечка — это общеславянские ласкательные варианты имён Екатерина и Татьяна (Тетяна) соответственно).

Цитата
xenia1996
Однако интуиция подсказывает мне, что должно существовать решение и для натуральных чисел.
Пожалуйста, помогите решить.

Существуют, причем бесконечно много. Но большие. Зато по пять.

   34318217513563364638108896
 9501219118977146489733105552
14940292391967962588048625552
31300004970885651633763275552
27753274155754482605412625552
               35731754337777

Есть и маленькие...но по три.

 4167438
-1017255
 -407847
 1425138
-3074007
 1027753