Если сумма трёх квадратов...

Для каких натуральных $n$ верно приведённое ниже высказывание?
Если $a, b, c$ - целые числа и $a^2+b^2+c^2$ делится на $n$, то $abc$ делится на $n$.

-----------------------------------------------------

И не ракета орлиная Таню берегла, и дни лежат в небе тем лесом.

Наш Вася Тараканечкин променял-таки Кацечку на Тацечку (Кацечка и Тацечка — это общеславянские ласкательные варианты имён Екатерина и Татьяна (Тетяна) соответственно).

Если выполняется для всех $a, b, c$, то и для $b = c = 1$ должно выполняться.
То есть для любого $a$ выполняется $a^2 + 2 \vdots n \Rightarrow a \vdots n$.
Значит $a^2 + 2 = tn \Rightarrow a = kn$, и $k^2n^2 + 2 = tn$, $k^2n + \frac{2}{n} = t$, и $\frac{2}{n}$ - целое.
Для $n = 1,2$ утверждение очевидно.