Преподаватель даёт студенту листок с четырьмя попарно различными числами и просит студента записать на чистой доске сначала четыре данных числа, затем все их возможные суммы по два различных слагаемых, затем - по три, а в конце – сумму всех четырёх слагаемых. Если при этом какое-то число оказалось записанным на доске несколько раз, то одно из этих одинаковых чисел оставляют на доске, а остальные стирают. Какое количество чисел может быть записано на доске в результате этих действий? Найти все возможные варианты и доказать, что других нет.

-----------------------------------------------------

И не ракета орлиная Таню берегла, и дни лежат в небе тем лесом.

Наш Вася Тараканечкин променял-таки Кацечку на Тацечку (Кацечка и Тацечка — это общеславянские ласкательные варианты имён Екатерина и Татьяна (Тетяна) соответственно).

Цитата
r-aax
Возьмем три числа $1, 2, 4$ они порождают $7$ сумм на доске. Дорисовав четвертое число $d$, мы получим еще $d, d + 1, d + 2, d + 3, d + 4, d + 5, d + 6, d + 7$. Варьируя $d$ от $-7$ до $0$, получаем от $8$ до $15$ сумм на доске.

Возьмем теперь три числа $0, 1, 2$ они порождают $4$ суммы на доске. Дорисовав четвертое число $d$, мы получим еще $d, d + 1, d + 2, d + 3$. Варьируя $d$ от $-4$ до $-1$ получаем от $5$ до $8$ сумм на доске.

Понятно, что невозможно получить менее $4$ и более $15$ сумм.

Остался вариант $4$. Пусть мы это сделали и получили $4$ суммы на доске, причем это ровно исходные числа $a < b < c < d$. Тогда $c \le 0$, иначе $c + d > d$, тогда очевидно, что $b < 0, a < 0$ и $a + b < a$, и это число должно быть на доске, противоречие.

Супер! Спасибо большое-пребольшое!

-----------------------------------------------------

И не ракета орлиная Таню берегла, и дни лежат в небе тем лесом.

Наш Вася Тараканечкин променял-таки Кацечку на Тацечку (Кацечка и Тацечка — это общеславянские ласкательные варианты имён Екатерина и Татьяна (Тетяна) соответственно).