Чтобы периметр каждой фигуры был равен периметру квадрата

Разрежьте какой-нибудь клетчатый квадрат по границам клеток на 4
равные фигуры так, чтобы периметр каждой фигуры был равен периметру
квадрата. (Фигуры равны, если они совпадают при наложении)

При каком минимальном размере квадрата это можно сделать?

-----------------------------------------------------

И не ракета орлиная Таню берегла, и дни лежат в небе тем лесом.

Наш Вася Тараканечкин променял-таки Кацечку на Тацечку (Кацечка и Тацечка — это общеславянские ласкательные варианты имён Екатерина и Татьяна (Тетяна) соответственно).

Пусть сторона квадрата равна $n$, тогда периметр $P = 4n$, площадь $S = n^2$.
Если его удалось разрезать на $4$ фигуры по условию задачи, то периметр каждой из них $p = P = 4n$, площадь $s = \frac{S}{4} = \frac{n^2}{4}$.

По формуле Пика $s = i + \frac{b}{2} - 1$, где $i$ - количество внутренних узлов получившейся фигуры, $b$ - количество узлов на границе фигуры. Так как фигуры мы вырезаем строго по клеткам, то $b = p$, откуда $s = i + \frac{p}{2} - 1$, или $\frac{n^2}{4} = i + 2n - 1$. Следовательно $i = \frac{n^2}{4} - 2n + 1$.

Очевидно, что необходимо выполнение $i \ge 0$, откуда $n^2 - 8n + 4 \ge 0$, откуда получаем $n \ge 4 + 2\sqrt{3}$. Получаем, что $n \ge 8$.

При $n = 8$, получаем $i = 1$. Для получения примера разрезания квадрата $8 \cdot 8$ достаточно выполнить любое симметричное разрезание на $4$ части, при котором каждая часть содержит только одну внутреннюю точку. Пример ниже:

$\left|\begin{array}{rr} . & . & . & . & # & # & # & # \\ . & . & . & . & . & . & . & # \\ . & . & . & . & . & # & . & # \\ . & . & . & . & # & # & # & # \\ . & . & . & . & . & # & # & . \\ . & . & . & . & . & . & # & . \\ . & . & . & . & . & # & # & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \end{array}\right|$



Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.10.2017 23:45.

Цитата
r-aax
Пусть сторона квадрата равна $n$, тогда периметр $P = 4n$, площадь $S = n^2$.
Если его удалось разрезать на $4$ фигуры по условию задачи, то периметр каждой из них $p = P = 4n$, площадь $s = \frac{S}{4} = \frac{n^2}{4}$.

По формуле Пика $s = i + \frac{b}{2} - 1$, где $i$ - количество внутренних узлов получившейся фигуры, $b$ - количество узлов на границе фигуры. Так как фигуры мы вырезаем строго по клеткам, то $b = p$, откуда $s = i + \frac{p}{2} - 1$, или $\frac{n^2}{4} = i + 2n - 1$. Следовательно $i = \frac{n^2}{4} - 2n + 1$.

Очевидно, что необходимо выполнение $i \ge 0$, откуда $n^2 - 8n + 4 \ge 0$, откуда получаем $n \ge 4 + 2\sqrt{3}$. Получаем, что $n \ge 8$.

При $n = 8$, получаем $i = 1$. Для получения примера разрезания квадрата $8 \cdot 8$ достаточно выполнить любое симметричное разрезание на $4$ части, при котором каждая часть содержит только одну внутреннюю точку. Пример ниже:

$\left|\begin{array}{rr} . & . & . & . & # & # & # & # \\ . & . & . & . & . & . & . & # \\ . & . & . & . & . & # & . & # \\ . & . & . & . & # & # & # & # \\ . & . & . & . & . & # & # & . \\ . & . & . & . & . & . & # & . \\ . & . & . & . & . & # & # & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \end{array}\right|$

Большое спасибо!

-----------------------------------------------------

И не ракета орлиная Таню берегла, и дни лежат в небе тем лесом.

Наш Вася Тараканечкин променял-таки Кацечку на Тацечку (Кацечка и Тацечка — это общеславянские ласкательные варианты имён Екатерина и Татьяна (Тетяна) соответственно).