23.10.2017 21:16 Дата регистрации:
12 лет назад Посты: 9 | Задать n-ый член последовательности с повторяющимися значениями Не могу решить простейшую, казалось бы, задачку. Помогите, пожалуйста. Для последовательности $x_n = {1, 0, 1, 0, 1, ...}$n-ый член задаётся очень просто: $x_n=\frac{1+(-1)^{n+1}}{2}$Это мы помним ещё со школы. Однако как быть с последовательностью вида {1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, ...} или {1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, ...}? Как в таком случае задать n-ый член? Редактировалось 2 раз(а). Последний 24.10.2017 13:59.
|
24.10.2017 02:19 Дата регистрации:
12 лет назад Посты: 175 | Можно так... $x^{(3)}_n=1-\frac 4 3 sin^2( \frac {2\pi} 3 (n-1));$$x^{(4)}_n=\frac 1 2 sin( \frac {\pi} 2 n)[1+sin( \frac {\pi} 2 n)].$
|
24.10.2017 02:27 Дата регистрации:
14 лет назад Посты: 1 074 | Формула Если последовательность начинается с 1, затем идут k нулей (k>=0), а затем всё повторяется, то можно так x(n)=[(n+k)/(k+1)] - [(n+k-1)/(k+1)] , где квадратные скобки означают целую часть числа.
|
24.10.2017 09:27 Дата регистрации:
12 лет назад Посты: 175 | или так... $x^{(k)}_n=1$ при $ n=1 \, mod \, k $ и $x^{(k)}_n=0$ в противном случае.
|
24.10.2017 09:53 Дата регистрации:
12 лет назад Посты: 9 | Уточнение Цитата
yog-urt
$x^{(3)}_n=1-\frac 4 3 sin^2( \frac {2\pi} 3 (n-1));$
$x^{(4)}_n=\frac 1 2 sin( \frac {\pi} 2 n)[1+sin( \frac {\pi} 2 n)].$
Цитата
kitonum
Если последовательность начинается с 1, затем идут k нулей (k>=0), а затем всё повторяется, то можно так
x(n)=[(n+k)/(k+1)] - [(n+k-1)/(k+1)] , где квадратные скобки означают целую часть числа.
Спасибо за ответы! Но я забыл сделать уточнение — можно ли получить формулу лишь с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень? Не привлекая тригонометрию, округление и прочие операции.
|
24.10.2017 10:32 Дата регистрации:
14 лет назад Посты: 1 074 | Нельзя , так как это будет рациональная функция, которая не периодическая.
|
24.10.2017 11:46 Дата регистрации:
15 лет назад Посты: 2 928 | О рациональности Цитата
kitonum
, так как это будет рациональная функция, которая не периодическая.
Судя по стартовому посту, возведение в степень - функция двух аргументов и она не рациональна.
|
24.10.2017 12:37 Дата регистрации:
15 лет назад Посты: 2 928 | Период 4 Последовательность $f(n)=\frac{n(n+1)(n+2)}{2}$ по модулю 2 дает 1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,... Рассмотрим последовательность: $g(n)=\frac{1+(-1)^{f(n)}}{2}$Она имеет вид: 0,1,1,1,0,1,1,1,.... Искомая последовательность: $1-g(n)$Прошу прощения, забыл делить на 2. Редактирование произвел после поступления отзыва. Редактировалось 1 раз(а). Последний 24.10.2017 14:53.
|
24.10.2017 14:15 Дата регистрации:
12 лет назад Посты: 9 | не совсем понял Цитата
museum
Последовательность $f(n)=n(n+1)(n+2)$ по модулю 2 дает 1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,...
Рассмотрим последовательность:
$g(n)=\frac{1+(-1)^{f(n)}}{2}$
Она имеет вид: 0,1,1,1,0,1,1,1,....
Искомая последовательность: $1-g(n)$
Вот, это уже интересно! Я тоже думал f(n) задать в виде дроби или произведения. Только отмечу, не совсем понял с g(n). При n=1 получаем $g(1)=\frac{1+(-1)^{1(1+1)(1+2)}}{2}=1$То же самое получаем и при всех прочих значениях n: последовательность имеет вид {1, 1, 1, 1, ...}
|
24.10.2017 16:17 Дата регистрации:
15 лет назад Посты: 2 928 | Прошу прощения В предыдущем посте исправил ошибку. Дополнительно заметим, что делать при другом периоде: 1, 0,0,0,...0, 1, 0,0, ... - (p-1)-нулей чередуются с единицей. Пусть p-натуральное, a-примитивный комплексный корень из 1 степени p. Положим $f(n)=\frac{a^n+a^{2n}+...+a^{pn}}{p}$Если $n$ не делится на $p$, то одночлены в числителе покрывают подгруппу корней из 1 (возможно несколько раз с одинаковой кратностью покрытия каждой точки). Поэтому, сумма в числителе равна 0. Если $n$ делится на $p$, то одночлены в числителе равны 1. Таким образом, получили последовательность: 0,0,...,0,1,0,...0,1,0,... Редактировалось 1 раз(а). Последний 24.10.2017 16:19.
|
24.10.2017 17:05 Дата регистрации:
12 лет назад Посты: 9 | Ура! Супер, спасибо большое! А могли бы вы литературу порекомендовать для развития и расширения этих представлений?
|
