Почему нельзя делить на ноль?

Автор темы zl3p 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеИсследовательские гранты фонда «БАЗИС» 202118.02.2021 17:56
ОбъявлениеАктуарий в PPF Life Insurance (Junior)25.03.2021 21:35
17.02.2007 01:49
Почему нельзя делить на ноль?
В школе учат, что ДЕЛИТЬ НА НУЛЬ НЕЛЬЗЯ.
Но что значит "нельзя"... Для математики это весьма странный термин.
Что говорят по этому поводу на матфаке? (сам я просто не отсюда)

Вот чисто моё мнение на этот счёт (это имхо!):
Очевидно, что x/0 ещё не есть бесконечность, потому как бесконечности равен только предел lim(x/y) при y->0.
Если рассматривать операцию "/" как обратную операции "*", то x/y=z должно означать тоже самое, что и z*y=x. Тогда при y=0 имеем z*0=x. От сюда очевидно:

x/0 =
= 0, при x = 0;
= пустому множеству, при x != 0.

17.02.2007 17:17
Это всё фигня
Делить на нуль нельзя.
17.02.2007 17:39
Почему?
Цитата

Echo-off писал(а) :
Делить на нуль нельзя.
Почему нельзя?

17.02.2007 21:16
дело в пределении деления
Деление на элемент в поле, кольце понимается как умножение на элемент, обратный делителю. Обратный к эл-ту "а"- это элемент, который при умножении на "а" слева и справа дает единицу. Ноль при умножении на любой элемент дает ноль, так что обратного у него нет, а значит и разделить на него не получится.
17.02.2007 22:44
Ясно...
Да, действительно, при таких определениях операции деления, обратного элемента, элементов 1 и 0, на последний деление становится не возможным.
Правда, это ещё не исключает возможности введения иных определений и вывод алгебры элементов, в которых деление на нулевой элемент было бы возможным. Ведь кто-то же придумал в своё время извлекать квадратные корни из отрицательных чисел... Хотя, конечно, навряд ли в том может быть какой-то здравый смысл.

Ещё. Посоветуйте какую-нить литературу, в которой были бы рассписаны понятия ПОЛЕЙ чисел и т.д. Т.е. вообще современная теория вещественных чисел со всеми там определениями.. А то нужно чё-нить почитать.
18.02.2007 18:43
Так поля или вещественные числа?
Ну прочитав литературу о вещественных числах все о полях не узнаешь.
Пойми - из аксиом поля следует (тривиально доказывается) что обратный элемент единственен, т.е. у 0^-1 полагаемый равный 1/0 не существует.
А вообще - вопрос "можно ли делить на 0" может подразумевает под собой очень многое. Например, я могу назвать операцию "сложение" в поле операцией "деления". Какая разница как нам называть операцию эту - главное чтобы она удовлетворяла аксиомам. Тогда деление на 0 в нашем поле с переназванными бинарными операциями будет ни что иное как обычное сложение в изначальном поле. Так что это скорее филосовский вопрос.
19.02.2007 10:10
нужно раскрывать неопределенность "0/0"
> x/0 =
> = 0, при x = 0;

При x = 0 возникает неопределенность "0/0", которую нужно раскрывать для ответа на вопрос: чему она равна. Т.е. задачу нужно доопределять информацией об изменчивости х, и не только, еще и изменчивости знаменателя. Не факт, что после раскрытия неопределенность будет равна нулю.

Для решения квадратного уравнения a*x^2+b*x+c=0 обычно требуют a<>0, но это не совсем справедливо, т.к. при a=0 в одном из двух решений возникает неопределенность "0/0", которая обязана раскрыться в решение линейного уравнения b*x+c=0:

x=(-b+-(b^2-4a*c)^0.5)/(2*a)=(-2*c)/(b+-(b^2-4a*c)^0.5)
19.02.2007 12:31
все идет из алгебры
"Алгебры" - в смысле рассматриваемой "алгебраической системы".

Поле - более сложная ("богатая") система.
Уже в кольце нельзя делить на "нуль".
"Нуль" - это "поглощающий идемпотент". Мало показать, что он единственен. Надо показать, что он не совпадает с "единицей" (по "умножению").
Существует кольцо, в котором можно "делить на нуль". Это кольцо состоит из единственного элемента - "нуля".

"Число 0" - это "единица" по (обычному) "сложению" и "нуль" по (обычному) "умножению".

А все идет как раз из свойств операций. Из свойств связи между "сложением" и "умножением" в кольце.

19.02.2007 17:52
господи что ты написал
-=Цитата=- - "Уже в кольце нельзя делить на "нуль"."
-=Противоречащая ей цитата=- - "Существует кольцо, в котором можно "делить на нуль". Это кольцо состоит из единственного элемента - "нуля"."

Ты всегда противоречишь себе?
И тем более, какое кольцо? С единицей? С делителями нуля? Не пишите пожалуйста того чего не знаете.
Пример человека, не понимающего сути происходящего.

Тоже понравилась цитата - "Мало показать, что он единственен."

Прости, мало для чего? Я не понимаю толком что ты хотел этим сказать. Или это просто цитаты из книжки?

Человек который в самом начале писал про деление на нуль даже не сказал где собственно говоря происходит действие. По-видимому, это поле R. В общем нельзя делить на нуль. Что тут непонятного?

Про неопределенность 0/0, скажу честно, написана полная чушь.
19.02.2007 19:39
что ж так кричать ?
Согласен с ВАМИ, ув.train1ng, что я написал неточно.

Вполне достаточно написал ув.Alexander, о том, что у числа 0 нет обратного элемента по умножению.

Думаю, ув.zl3p задавал вопрос о числах. Поэтому и рассматриваются "обычные" алгебры на числовых множествах (те, которые "изучаются в школе").

А если говорить о более общих случаях, то интересно каков "минимальный" набор условий (аксиом), задающий алгебру, в которой "нельзя делить на ноль".


Мне понравилась Ваша фраза "В общем нельзя делить на нуль".
Она многое "объясняет", да ? ;-)

Вы говорите о каких-то "философских вопросах" и спрашиваете "где собственно говоря происходит действие", а сами пишете "Пойми - из аксиом поля следует (тривиально доказывается) что обратный элемент единственен, т.е. у 0^-1 полагаемый равный 1/0 не существует."
Т.е. тут Вам понятно, что у Вас и "поле" и "числа".
А "обратный элемент" по какой операции ? Ведь Вы тут тоже принимаете некоторые вещи "по умолчанию", не рассказывая о Ваших "умолчаниях".

Предлагаю уважаемым форумчанам обсудить вопрос о "делении на нуль" подробнее. С точки зрения "минимального набора", о котором я говорил выше.
Поля, тела, области целостности, кольца.

Если Вам, ув.train1ng, все понятно в этом вопросе, то поделитесь и с нами своими четкими и исчерпывающими знаниями.

19.02.2007 22:04
пояснение
Умолчание - то, о чем мы сейчас говорим.
Множество состоящее из одного элемента {0} не является кольцом с единицей, т.к. аксиомы кольца утверждают что 0 не равен 1. Значит никаких обратных элементов тут нет.
Ладно введу понятие поля - коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля. Думаю вам оно понятно - если нет, могу пояснить поподробнее.
В общем я точно знаю что есть строгое доказательство невозможности деления на 0 только не помню его дословно ))
Надо бы вечерок подумать и тогда наверное напишу.
19.02.2007 22:27
Прежде чем писать, хотя бы основные определения выучите
По вашему определению полем будет, например, кольцо целых чисел (единица есть, делителей нуля нет).
Между "все ненулевые элементы обратимы" и "нет делителей нуля" -- две большие разницы.
Тема смешная и грустная, спорят о тривиальщине, не зная определений того, с чем пытаются работать...



[MM/IUM]
20.02.2007 18:24
никто не спорит
-=Между "все ненулевые элементы обратимы" и "нет делителей нуля" -- две большие разницы.=-

никто с этим и не спорит, и знаю я отличие в этих предложениях - я просто опустил это так :-).
блин лучше уж аксиомами поле давать)
20.02.2007 18:29
да и кстати
через аксиомы прекрасно выводится что все ненулевые элементы поля обратимы.
а ну вот наверное и есть доказательство того что на 0 нельзя делить)
если бы у нуля был обратный элемент 0^-1 то 0 * (0^-1) = 1, а легко вывести, что для любого элемента p поля K 0 * p=0. Ну соотвественно в поле 1 и 0 не совпадают, поэтому получаем противоречие)
22.02.2007 13:14
О минимальных аксиомах
Пусть (G,*,0) - любая полугруппа с нулем. Это означает, что на множестве G введена (ассоциативная) бинарная операция * и в G существует элемент 0 такой, что для любого элемента x из G имеем равенство

x*0=0*x=0 (1)

Предположим, что для некоторого g из G разрешимо уравнение

0*x=g (2)

то есть в G возможно левое деление на ноль (вообще говоря, неоднозначное). Тогда по аксиомам (1) имеем g=0. При g=0 по тем же аксиомам (1) уравнению (2) удовлетворяет любой элемент x из G. Поэтому уравнение (2) однозначно разрешимо тогда и только тогда, когда G={0}. Аналогично разбирается случай правого деления.

Разумеется, можно обойтись и "группоидом с нулем".

Несложно видеть, что множество действительных чисел является полугруппой с нулем по операции умножения.

Приведенные выше рассуждения _тривиальны_, однако интересно, что будет, если продолжать модифицировать понятие деления и дальше. Например, в книжке Куроша описываются "регулярные полугруппы", в которых для каждого элемента g найдется хотя бы один элемент x такой, что g*x*g=g - это тоже можно рассматривать как неоднозначное деление. Множество действительных чисел, как и любое поле, этому определению, очевидно, удовлетворяет (если g не ноль, то понятно, а если g=0 - то подойдет любое число x).

22.02.2007 17:19
зачем
зачем, не понимаю, по 100 раз писать одно и то же доказательство, заменяя понятия.
сейчас будем для кольца то же самое писать и т.д. и т.д.
человек просил доказательство, его уже кто то написал, зачем повторяться.


да кстати,
для меня осталось загадкой понятие "группойд". Возможно это доказательство из какой то старой книжки, так что объясните если не трудно что значит "группойд", чтобы я был осведомлен.
23.02.2007 18:40
Группоид
Группоид - алгебра с одной бинарной операцией.
Т.е., самый общий случай - никаких дополнительных условий на операцию. (Кроме того, что операция однозначная и всюду определенная.)

23.02.2007 19:41
ну как ...
У нас тут уже разговор дальше пошел (у меня по крайней мере, с подачи X-ray'а) - о том, что такое деление и как это понятие можно разнообразить. И что при этом будет с делением на всякие нули. Просто аксиомы группы, кольца, поля ... ну они конечно всем хороши, позволяют богатую теорию строить, но тем не менее кто-то же придумал там всякие квазигруппы и лупы, полугруппы с инволюцией, груды и полугруды и прочую гадость - это ведь все эксперименты на тему деления.
23.02.2007 21:08
тоже думаю в этом направлении
Спасибо, ув.ad_dy.

Некоторые уважаемые собеседники считают, что с определениями все просто. Но если прочитать больше одной-двух книг по алгебре, то можно увидеть, что разные авторы называют одними словами разные вещи. Поэтому давайте договоримся об одинаковых определениях хотя бы в нашем разговоре.

С понятием "группа" имеется неплохое единодушие.
Группа (упрощенно) - алгебра с одной ассоциативной бинарной операцией, единицей и обратными элементами для всех элементов (не уточняю, т.к. тут почти все авторы единодушны).
("Упрощенно" в том смысле, что не будем говорить о сигнатурах и многообразиях алгебр.)

А вот насчет кольца единодушия нет.
Давайте приймем следующее довольно общее определение.

Кольцо - алгебра с двумя бинарными операциями (сложением '+' и умножением '*'). По сложению - абелева (коммутативная) группа. По умножению - группоид. Для всех элементов выполняются оба закона дистрибутивности (правый и левый).
Больше нет никаких предварительных условий на умножение в кольце.
А вводя эти условия на операцию умножения в колце, будем уточнять какое кольцо - ассоциативное, коммутативное, с единицей, etc.

Обратные элементы. В кольце конечно можно называть элементы "обратными" (по умножению) и "противоположными" (по сложению). Но, думаю, лучше использовать одно слово - "обратные" и уточнять по какой операции.

Единица = единичный элемент = нейтральный элемент.
Т.е. элемент 1 (или e) такой, что для любого x:
x*1=1*x=x; (x*e=e*x=x;)

Нуль = нулевой элемент.
Т.е. элемент 0 (или z) такой, что для любого x:
x*0=0*x=0; (x*z=z*x=z;)

Так будет называться независимо от вида алгебры и записи операций (аддитивной / мультипликативной).
Опять же указывать по какой опреации "единица" и "нуль", если операций больше одной.
(Правые / левые единицы / нули тоже хорошо бы обозначать по-разному, если в одном рассуждении присутствуют оба "вида".)

Пожалуйста, уточняйте, изменяйте и дополняйте предложенные варианты определений, если считаете нужным.

----
Случай "тривиальных алгебр" хоть и прост, но учитывать его нужно обязательно. А именно - алгебры на множестве с одним элементом {0} (вместо "0" можно другой символ). Например, такая алгебра:

<{0}, +, *>

две операции '+' и '*'
0+0=0; 0*0=0.

Будет такая алгебра кольцом ?
А кольцом с единицей (по умножению) ?
(Определения - выше.)
А вот телом и полем не будет.

24.02.2007 22:17
Вот смотрите какая штука
Да, эта тема - надолго ...
Главное - понять, о чем мы с вами говорим, и интересно ли это кому-нибудь еще ;) С определениями согласен. Как говорится, почти всюду. Про {0} - обычно вроде бы это считают кольцом (нет смысла отсеивать, потому что все равно куча вырожденных случаев остается, например, кольцо с нулевым умножением, итп), векторным пространством (без нулевого подпространства жить никак нельзя), но не полем (уж слишком часто оно в виде исключения будет возникать). Ну и про кольцо тоже правильно - только дистрибутивность. Словосочетание "обратный по сложению" - длинновато, "противоположный" - не намного короче, но привычнее :).

Ну так вот, ближе к делу. Первая мысль для затравки. Полугруппа с инволюцией - это такая полугруппа, в которой введена дополнительная унарная операция ' ("инволюция") с аксиомами:

1. (x')'=x
2. (xy)'=y'x'

Этакое обобщение понятия "обратный элемент". Или "транспонированная матрица". Или "комплексное сопряжение".

Если на действительной прямой (как на полугруппе по умножению) ввести инволюцию: x'=1/x для ненулевых x и 0'=0, то все аксиомы выполняются, и можно смело делить на ноль (x/0 = x*(0')=x*0=0).

А теперь:
1. А какие еще инволюции можно ввести на R? а на C? (нулевую (x'=0) не предлагать;)
2. А можно ли их согласовать со сложением в каком-нибудь разумном смысле? Ведь именно из-за дистрибутивности, повязывающей умножение сложением, мы не можем делить на ноль ...
3. А согласовать с метрикой и топологией на R и C?
И т.д.

Ну что, начинаем учиться на ноль делить?? ;) Шутка, конечно.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти