Почему нельзя делить на ноль?

В школе учат, что ДЕЛИТЬ НА НУЛЬ НЕЛЬЗЯ.
Но что значит "нельзя"... Для математики это весьма странный термин.
Что говорят по этому поводу на матфаке? (сам я просто не отсюда)

Вот чисто моё мнение на этот счёт (это имхо!):
Очевидно, что x/0 ещё не есть бесконечность, потому как бесконечности равен только предел lim(x/y) при y->0.
Если рассматривать операцию "/" как обратную операции "*", то x/y=z должно означать тоже самое, что и z*y=x. Тогда при y=0 имеем z*0=x. От сюда очевидно:

x/0 =
= 0, при x = 0;
= пустому множеству, при x != 0.

Цитата

Echo-off писал(а) :
Делить на нуль нельзя.

Почему нельзя?

Да, действительно, при таких определениях операции деления, обратного элемента, элементов 1 и 0, на последний деление становится не возможным.
Правда, это ещё не исключает возможности введения иных определений и вывод алгебры элементов, в которых деление на нулевой элемент было бы возможным. Ведь кто-то же придумал в своё время извлекать квадратные корни из отрицательных чисел... Хотя, конечно, навряд ли в том может быть какой-то здравый смысл.

Ещё. Посоветуйте какую-нить литературу, в которой были бы рассписаны понятия ПОЛЕЙ чисел и т.д. Т.е. вообще современная теория вещественных чисел со всеми там определениями.. А то нужно чё-нить почитать.

> x/0 =
> = 0, при x = 0;

При x = 0 возникает неопределенность "0/0", которую нужно раскрывать для ответа на вопрос: чему она равна. Т.е. задачу нужно доопределять информацией об изменчивости х, и не только, еще и изменчивости знаменателя. Не факт, что после раскрытия неопределенность будет равна нулю.

Для решения квадратного уравнения a*x^2+b*x+c=0 обычно требуют a<>0, но это не совсем справедливо, т.к. при a=0 в одном из двух решений возникает неопределенность "0/0", которая обязана раскрыться в решение линейного уравнения b*x+c=0:

x=(-b+-(b^2-4a*c)^0.5)/(2*a)=(-2*c)/(b+-(b^2-4a*c)^0.5)

-=Цитата=- - "Уже в кольце нельзя делить на "нуль"."
-=Противоречащая ей цитата=- - "Существует кольцо, в котором можно "делить на нуль". Это кольцо состоит из единственного элемента - "нуля"."

Ты всегда противоречишь себе?
И тем более, какое кольцо? С единицей? С делителями нуля? Не пишите пожалуйста того чего не знаете.
Пример человека, не понимающего сути происходящего.

Тоже понравилась цитата - "Мало показать, что он единственен."

Прости, мало для чего? Я не понимаю толком что ты хотел этим сказать. Или это просто цитаты из книжки?

Человек который в самом начале писал про деление на нуль даже не сказал где собственно говоря происходит действие. По-видимому, это поле R. В общем нельзя делить на нуль. Что тут непонятного?

Про неопределенность 0/0, скажу честно, написана полная чушь.

Умолчание - то, о чем мы сейчас говорим.
Множество состоящее из одного элемента {0} не является кольцом с единицей, т.к. аксиомы кольца утверждают что 0 не равен 1. Значит никаких обратных элементов тут нет.
Ладно введу понятие поля - коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля. Думаю вам оно понятно - если нет, могу пояснить поподробнее.
В общем я точно знаю что есть строгое доказательство невозможности деления на 0 только не помню его дословно ))
Надо бы вечерок подумать и тогда наверное напишу.

-=Между "все ненулевые элементы обратимы" и "нет делителей нуля" -- две большие разницы.=-

никто с этим и не спорит, и знаю я отличие в этих предложениях - я просто опустил это так :-).
блин лучше уж аксиомами поле давать)

Пусть (G,*,0) - любая полугруппа с нулем. Это означает, что на множестве G введена (ассоциативная) бинарная операция * и в G существует элемент 0 такой, что для любого элемента x из G имеем равенство

x*0=0*x=0 (1)

Предположим, что для некоторого g из G разрешимо уравнение

0*x=g (2)

то есть в G возможно левое деление на ноль (вообще говоря, неоднозначное). Тогда по аксиомам (1) имеем g=0. При g=0 по тем же аксиомам (1) уравнению (2) удовлетворяет любой элемент x из G. Поэтому уравнение (2) однозначно разрешимо тогда и только тогда, когда G={0}. Аналогично разбирается случай правого деления.

Разумеется, можно обойтись и "группоидом с нулем".

Несложно видеть, что множество действительных чисел является полугруппой с нулем по операции умножения.

Приведенные выше рассуждения _тривиальны_, однако интересно, что будет, если продолжать модифицировать понятие деления и дальше. Например, в книжке Куроша описываются "регулярные полугруппы", в которых для каждого элемента g найдется хотя бы один элемент x такой, что g*x*g=g - это тоже можно рассматривать как неоднозначное деление. Множество действительных чисел, как и любое поле, этому определению, очевидно, удовлетворяет (если g не ноль, то понятно, а если g=0 - то подойдет любое число x).

Группоид - алгебра с одной бинарной операцией.
Т.е., самый общий случай - никаких дополнительных условий на операцию. (Кроме того, что операция однозначная и всюду определенная.)

Спасибо, ув.ad_dy.

Некоторые уважаемые собеседники считают, что с определениями все просто. Но если прочитать больше одной-двух книг по алгебре, то можно увидеть, что разные авторы называют одними словами разные вещи. Поэтому давайте договоримся об одинаковых определениях хотя бы в нашем разговоре.

С понятием "группа" имеется неплохое единодушие.
Группа (упрощенно) - алгебра с одной ассоциативной бинарной операцией, единицей и обратными элементами для всех элементов (не уточняю, т.к. тут почти все авторы единодушны).
("Упрощенно" в том смысле, что не будем говорить о сигнатурах и многообразиях алгебр.)

А вот насчет кольца единодушия нет.
Давайте приймем следующее довольно общее определение.

Кольцо - алгебра с двумя бинарными операциями (сложением '+' и умножением '*'). По сложению - абелева (коммутативная) группа. По умножению - группоид. Для всех элементов выполняются оба закона дистрибутивности (правый и левый).
Больше нет никаких предварительных условий на умножение в кольце.
А вводя эти условия на операцию умножения в колце, будем уточнять какое кольцо - ассоциативное, коммутативное, с единицей, etc.

Обратные элементы. В кольце конечно можно называть элементы "обратными" (по умножению) и "противоположными" (по сложению). Но, думаю, лучше использовать одно слово - "обратные" и уточнять по какой операции.

Единица = единичный элемент = нейтральный элемент.
Т.е. элемент 1 (или e) такой, что для любого x:
x*1=1*x=x; (x*e=e*x=x;)

Нуль = нулевой элемент.
Т.е. элемент 0 (или z) такой, что для любого x:
x*0=0*x=0; (x*z=z*x=z;)

Так будет называться независимо от вида алгебры и записи операций (аддитивной / мультипликативной).
Опять же указывать по какой опреации "единица" и "нуль", если операций больше одной.
(Правые / левые единицы / нули тоже хорошо бы обозначать по-разному, если в одном рассуждении присутствуют оба "вида".)

Пожалуйста, уточняйте, изменяйте и дополняйте предложенные варианты определений, если считаете нужным.

----
Случай "тривиальных алгебр" хоть и прост, но учитывать его нужно обязательно. А именно - алгебры на множестве с одним элементом {0} (вместо "0" можно другой символ). Например, такая алгебра:

<{0}, +, *>

две операции '+' и '*'
0+0=0; 0*0=0.

Будет такая алгебра кольцом ?
А кольцом с единицей (по умножению) ?
(Определения - выше.)
А вот телом и полем не будет.