Почему нельзя делить на ноль?

x/0 = x*(0')=x*0=0
поясните пожалуйста откуда это следует ведь мы ввели x'=1/x для всех ненулевых.
мне кажется этот шаг неверен

Ой, я в своем посте от 24-го глупость написал. x'=0 - никакая не инволюция, конечно, потому что (1')'=0, а не 1.

Ну так как? никто еще инволюций на R не придумал?

Делить на ноль можно только ноль.

Задача: 0*х=0. Чему равно 0:0?
Ответ: 0:0=х, где х - любое число.

Вывод: Уравнения 0*х=0, 0:х=0 и 0:0=x – это одно и то же уравнение, записанное разными способами, оно имеет бесконечное множество решений.

Кто-то может сказать, что если 0:0=5 и 0:0=6, то значит 5=6? Нет не значит. Никому не приходит в голову утверждать, что если х = корень_квадратный_из_4, то х = 2 и х = -2, значит 2 = -2.

Кому интересно, подробнее об этом http://www.proza.ru/2008/08/02/228

Тут уже все покуражились над ребенком и мне хочется. Предложение Ad_Dy можно считать забавным:

Цитата

Ну так вот, ближе к делу. Первая мысль для затравки. Полугруппа с инволюцией - это такая полугруппа, в которой введена дополнительная унарная операция ' ("инволюция") с аксиомами:

1. (x')'=x
2. (xy)'=y'x'

Цитата

1. А какие еще инволюции можно ввести на R? а на C? (нулевую (x'=0) не предлагать;)
2. А можно ли их согласовать со сложением в каком-нибудь разумном смысле? Ведь именно из-за дистрибутивности, повязывающей умножение сложением, мы не можем делить на ноль ...

Прежде всего, С без ноля и Положительные вещественные числа являются полными группами по умножению, причем вторая без кручения и, следовательно, изоморфна вещественным числам по сложению. Впрочем, она и как топологическая группа тому изоморфна (см. логарифм). Определение инволюции в коммутативном случае означает просто "инволютивный эндоморфизм" . В группе по сложению эндоморфизмы являются линейными операторами над полем рациональных чисел. Т.к. пространство имеет размерность континуум, то таковых очень много, но непрерывные из них только умножения на вещественные числа. С помощью известного изоморфизма это можно перенести на положительные вещественные числа. Получится возведение в степени, в том числе, конечно, и в отрицательные.
Для всех вещественных чисел заметим, что любой эндоморфизм сохраняет 0, 1 и множество положительных чисел, ибо квадраты переводит в квадраты. Таким образом, речь идет о том, какие эндоморфизмы можно расширить на все числа. Условие непрерывности приведет к возведению в рациональные степени с нечетными знаменателями . Если добавить требование сохранения еще и сложения, тогда останется только тождественный автоморфизм (условие непрерывности станет следствием сохранения положительности).
В итоге: Непрерывные инволюции группы по умножению $R^+$ и $R$ исчерпываются взятием обратного (степень -1), произвольных инволюций очень много. Для поля комплексных чисел и инволютивных автоморфизмов поля очень много , но непрерывных только один:
любой автоморфизм поля оставляет на месте рациональные числа, следовательно и все вещественные числа тоже. Но как уже отмечено, на вещественных числах он тождественный. Отсюда получаем единственный автоморфизм комплексных чисел - сопряжение (симметрия относительно вещественнлй оси), этот автоморфизм по счастью еще и инволютивен. Что касается инволюций мультиплткативной группы, то их навалом.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 23.03.2009 12:38.

Глубоко уважаемый г-н Ad_Dy, если Вы мою фразу: "Тут уже все покуражились над ребенком и мне хочется" , приняли на свой счет, то Вы сильно ошиблись, т.к. я имел ввиду автора вопроса, который начал сие обсуждение весьма невинным вопросом, а получил сполна, как мне показалось, сам на то не рассчитывая. В ходе этого обсуждения было много веселого, а Ваш ответ мне показался интересным (я это называю "забавным", т.к. серьезных исследований вопрос не предполагал, а для развленчения - весьма интересен..
Против теперешней терминологии я, надеюсь, не погрешил: обычно автоморфизмами называют изоморфизмы на себя, а эндоморфизмами - гомоморфизмы в себя (возможно сюръективные и даже изоморфизмы). Или я ошибся?

Действительно, странно... Попытаюсь оправдаться излишней осторожностью.
Что касается существования сколько - нибудь хороших инволюций на вещественных числах, то их существование связано с существованием линейого базиса над полем рациональных чисел, но если я не ошибаюсь, то такие базисы не измеримы.
В модели ZF Фефермана (1965) таких нет, но нет, конечно и аксиомы выбора). ПРОШУ ПРОЩЕНИЯ за неточную ссылку: в модели Фефермана мера не счетно адитивна. Правильная ссылка: Соловей (1969, 1970). В моделях Соловея выполняется аксиома зависимого выбора и мера вполне приличная, но все подмножества (модель 1970) измеримы по Лебегу и нет адитивных разрывных функций, последнее относится и к модели 1969 г., но здесь мера Лебега расширена до некоторой счетно адитивной меры, определенной на всех подмножествах $R$ и постороение не зависит от дополнительной гипотезы о недестижимом кардинале.
У поля комплексных чисел имеются еще и другие инволюции (не сопряжение), которые можно назвать "алгебраическими", т.е. порожденные перестановками корней неприводимых многочленов.



Редактировалось 5 раз(а). Последний 26.03.2009 00:21.

В Богачеве написана правда, а у меня - нет. Это я просто хотел сказать, что существование линейного базиса означает существование неизмеримого подмножества (множество Витали), а сказал коротно и смачно, но глупость. Что касается существования множества Витали, то это доказать не сложно и реально даже здесь.
Пусть выделен некоторый базис, тогда каждому числу ставится в соответствие конечное подмножество этого базиса и конечный набор рациональных чисел - коэффициенты разложения по базису (это по аксиоме выделения). Не ограничивая общности считаем, что число 1 является элементом базиса. Рассмотрим множество классов при факторизации по подгруппе рациональных чисел. В любом классе, кроме множества рациональных чисел, имеется один и только один элемент, разложение которого по базису не содержит число 1, именно его мы и выбираем из данного класса. Во множестве рациональных чисел из уважения выберем 1. Таким образом получается множество Витали, выбирающее из каждого класса ровно один элемент.
Предыдущее сообщение мне пришлось отредактировать из-за неточности в ссылке: написанное Феферман (1965) следует читать Соловей (1069, 1970).

Цитата
gl-ar
Число ноль это ось симметрии алгебраической оси.

Неверно. Число - это вообще не ось.

Цитата
gl-ar
Пусть на сочтут меня странным

Не волнуйтесь, уже давно сочли даже и не только этим.

Цитата
gl-ar
но этот вопрос возник из-за ошибки в математике.
а * 0 = 0, так? LOGIC ERROR

Где? У Вас, что-ли? Да, похоже, у Вас, потому что у меня таких вопросов не возникает.

Цитата
gl-ar
а * 0 = ?, ответ: не существует.

В этом случае умножение, по-вашему - не операция. (Хотя я зря сотрясаю воздух, Вы же все равно не знаете, что это такое).

Цитата
gl-ar
Число ноль можно получить лишь операцией сложения.

А это что еще за алхимия такая? Числа не получают, их определяют.

Цитата
gl-ar
Такое изменение в математике нисколько на нее не повлияет

Ну если ничего в математике не знать - то, конечно, нисколько не повлияет.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 26.03.2009 07:21.