![]() Форум мехмата МГУ по высшей математике
| Пользователям: | Аксиома — это истина, на которую не хватило доказательств. |
Форумы > Математика > Высшая математика > Тема |
Объявления | Последний пост | |
---|---|---|
![]() | Правила и принципы форума «Высшая математика» | 28.10.2009 15:17 |
![]() | Запущен новый раздел «Задачки и головоломки» | 29.08.2019 00:42 |
![]() | Книги по математике и экономике в добрые руки! | 10.08.2023 09:45 |
22.02.2007 21:57 Дата регистрации: 19 лет назад Посты: 27 | Задачка про двух математиков на марковские процессы Итак, имеется 2 математика, которые в честь дня Пифагора перебрали пива и по этой причине нетвёрдо стоят на ногах. Так как все математики неповторимы, эти двое тоже непохожи друг на друга. Про первого математика можно сказать, что неизвестно, куда он сделает следующий шаг - вперёд или назад. Второй математик, сделав шаг вперёд, скорее всего и следующий шаг сделает вперёд. Так же, если он сделает шаг назад, то скорее всего и следующий шаг он сделает назад. Вопрос : какой математик быстрее доберётся, скажем, до общежития? p.s. задача на марковские цепи, скажем так, ну или на марковские процессы. p.s.s. любопытства ради. встану утром рано... |
23.02.2007 13:18 Дата регистрации: 19 лет назад Посты: 52 | пьян был автор задачи ответ 12. НЕ поленитесь доформулировать условия. Фразы типа "неизвестно, куда он сделает следующий шаг " "скорее всего и следующий шаг " - говорят в пользу того что составитель задачи был пъян. |
24.02.2007 12:50 Дата регистрации: 19 лет назад Посты: 27 | пьян или трезв - тайна, покрытая мраком по поводу вопроса, если уж один студент сделал шаг в одном направлении, то и все последующие шаги он точно сделает в том-же направлении. Второй студент первый шаг также делает в одном из двух направлений, но и следующий шаг так-же случайно, и все следующие шаги. вот в чем их разница. встану утром рано... |
24.02.2007 15:16 Дата регистрации: 19 лет назад Посты: 52 | точность случайно это не понятный термин. Доопределите его. Случайно равновероятно. Случайно по распределению х, образом не зависимым от истории. Случайно по распределению х зависимо от истории и т.п и.т.д |
24.02.2007 18:22 Дата регистрации: 20 лет назад Посты: 23 | Как я понял задачу Возьмём независимые $\xi_i$, принимающие $\pm 1$ с вероятностью 1/2, и зависимые $\eta_i: \eta_1 \sim \xi_1, P(\eta_i = \eta_{i-1}) = 1 \; \forall i > 1$. Тогда позиция первого математика в t-й момент времени равна $\xi_0 + ... + \xi_t$, второго - $\eta_0 + ... + \eta_t$. Вопрос - что такое "доберется быстрее"? Даже в самом простом случае, когда общежитие находится в одном шаге от старта, первый до него не дойдёт с вероятностью 1/3 (можно посчитать), второй - с вероятностью 1/2 (поскольку это зависит от того, куда он сделает первый шаг). Поэтому матожидание времени достижения цели в обоих случаях, вообще-то, бесконечно. EDIT: С 1/3 я ошибся, сорри. Сейчас попробую исправить. [MM/IUM] Редактировалось 1 раз(а). Последний 01.03.2008 18:16. |
24.02.2007 18:57 Дата регистрации: 19 лет назад Посты: 27 | извиняюсь за нестрогость =) самое подходящее - случайно равновероятно, я не могу сказать, что тут такое х, размер шага или вес мобильника в кармане одного из студентов и т.п. Т.е. это не важно. p.s. лично я не знаю как решать, мне кажется, что дойдет быстрее тот, кто идет все время в одну сторону... а как количественно оценить это - не знаю. встану утром рано... |
24.02.2007 18:58 Дата регистрации: 19 лет назад Посты: 52 | откуда откуда вы поняли про 1\2 с бороды? |
24.02.2007 19:01 Дата регистрации: 19 лет назад Посты: 27 | может быть я так понимаю, что тут надо считать что земля круглая. вобщем, имхо, эта задача кажется, пересекается с этим вопросом вопросом т.е. если выпадает достаточно длинная серия орлов, значит тот, кто на каждом шаге с вероятностью 1/2 может повернуться обратно имеет больше шансов добраться до общаги. встану утром рано... |
24.02.2007 22:46 Дата регистрации: 20 лет назад Посты: 23 | ответ Оговорюсь сразу, что я считал здесь землю одномерной и бесконечной в обе стороны (т.е. действие происходит на прямой) Возьмите события $A = \{\eta_1 = 1\}$ и $B = \{\eta_1 = -1\}$ $P(A) = P(B) = 1/2$, потому что так предположили.(первый шаг делается случайно равновероятно) Также предположили, что $P(\eta_i = \eta_{i-1}) = 1$. Поэтому A, быть может, с точностью до множества вероятности 0, совпадает с множеством $\{\eta_i = 1 \; \forall i >= 1\}$. То же самое с B. Получаем разбиение нашего вероятностного пространства на два множества меры по 1/2, на одном из которых все конечные суммы $\eta_1 + ... + \eta_t$ отрицательны (равны -t), а на втором положительны и равны t. Теперь заметьте, что математик добирается до общаги во втором случае и только в нём. Это понятно или написать формальнее? [MM/IUM] Редактировалось 2 раз(а). Последний 01.03.2008 18:19. |
25.02.2007 23:32 Дата регистрации: 19 лет назад Посты: 52 | решение не верное и не понятное Вопрос был кто быстрей добереться до общаги:? Для обоих математиков мат.ожидание времени до прихода в общагу равно бесконечности. Отсюда и ответ. А ваше решение вы уж извините чистой воды прованация не слова не понял. Термины понасунуты а смысл? |
04.03.2007 00:21 Дата регистрации: 20 лет назад Посты: 23 | про смысл Смысл в том, что событие A = { второй математик доберется до общаги } совпадает с событием B = { второй математик сделает в сторону общаги первый шаг } с точностью до события нулевой вероятности. P(B) = 1/2, а в предыдущем посте всё это просто более формально доказано. Если хотите это утверждение оспорить -- валяйте.:) [MM/IUM] |
04.03.2007 11:27 Дата регистрации: 17 лет назад Посты: 106 | Да чего тут думать?! Надо проводить натурный эксперимент!!! Да чего тут думать?! Надо проводить натурный эксперимент!!! Но для частоты эксперимента, его необходимо провести строго в день Пифагора!...:) Господа математики, среди Вас есть желающие пожертвовать немного своего здоровья во имя Науки!? А если серьезно, то из условий задачи следует, что оба математика будут просто шататься в окрестностях точки употребления пива. Причем первый математик будет это делать с бОльшей частотой, но с меньшей амплитудой, чем второй (желательно, чтобы выполнялось условие равенства шагов и их периодичности). По этому до общаги они дойдут лишь к утру, когда отрезвеют. Но и тут есть загвоздка. Если оба математика мужского пола, то выпив пивка они собрались идти не иначе как в женское общежитие. А утром с такого перепоя им будет просто не до этого, т.е. ноги пойдут, но прежняя мотивация к движению в направлении женского общежитья уже будет отсутствовать. Поэтому ответ у этой задачи следующий: На день Пифагора никто из них в общагу не попадет. Возможно им удастся это сделать на следующий праздник - в день Архимеда. Но это только при условии, что эти математики по результатам празднования дня Пифагора сделают необходимые вывод о вреде алкоголизма, и не повторят своих ошибок в будущем. Вот видите как все просто. А Вы говорите Марковские процессы...;-) |
08.02.2008 20:04 Дата регистрации: 19 лет назад Посты: 27 | вот еще нашел про данную задачку Пусть подвыпивший матрос вышел поздно вечером из кабачка и направился вдоль улицы. Пройдя путь l до ближайшего фонаря, он отдохнул и пошел... либо дальше, до следующего фонаря, либо назад, к кабачку – ведь он не помнит, откуда пришел. Спрашивается, уйдет он когда-нибудь от кабачка, или так и будет бродить около него, то отдаляясь, то приближаясь к нему? (В другом варианте задачи говорится, что на обоих концах улицы, где кончаются фонари, находятся грязные канавы, и спрашивается, удастся ли матросу не свалиться в одну из них). Интуитивно кажется, что правилен второй ответ. Но он неверен: оказывается, матрос будет постепенно все более удаляться от нулевой точки, хотя и намного медленнее, чем если бы он шел только в одну сторону. Вот как это можно доказать. Пройдя первый раз до ближайшего фонаря (вправо или влево), матрос окажется на расстоянии s1 = ± l от исходной точки. Так как нас интересует только его удаление от этой точки, но не направление, избавимся от знаков, возведя это выражение в квадрат: s12 = l2. Спустя какое-то время, матрос, совершив уже N «блужданий», окажется на расстоянии sN = от начала. А пройдя еще раз (в одну из сторон) до ближайшего фонаря, – на расстоянии sN+1 = sN ± l, или, используя квадрат смещения, s2N+1 = s2N ±2sN l + l2. Если матрос много раз повторит это перемещение (от N до N + 1), то в результате усреднения (он с равной вероятностью проходит N-ый шаг вправо или влево), член ±2sNl сократится, так что < s2N+1 = s2N + l2> (угловыми скобками обозначено усредненная величина). Так как s12 = l2, то s22 = s12 + l2 = 2l2, s32 = s22 + l2 = 3ll2 и т.д., т.е. s2N = Nl2 или sN =l. Общий пройденный путь L можно записать и как произведение скорости матроса на время в пути (L = ut), и как произведение числа блужданий на расстояние между фонарями (L = Nl), следовательно, ut = Nl, откуда N = ut/l и окончательно sN = . Таким образом получается зависимость смещения матроса (а также молекулы или броуновской частицы) от времени. Например, если между фонарями 10 м и матрос идет со скоростью 1 м/с, то за час его общий путь составит L = 3600 м = 3,6 км, тогда как смещение от нулевой точки за то же время будет равно всего s = = 190 м. За три часа он пройдет L = 10,8 км, а сместится на s = 330 м и т.д. встану утром рано... |
25.02.2008 22:19 Дата регистрации: 18 лет назад Посты: 5 | источник почитайте Феллера, вроде как первый том, там эта задача разобрана при равномерном (вероятность 1/2 налево и столько же направо) случайном блуждании на прямой мат. ожидание положения точки в случайный момент времени есть начальный пункт блуждания. далее, с вероятностью 1 случайное блуждание приходит в начало за конечное время (т.е. E(min(t)|X(t)=0)<inf), не помню за какое. далее, если есть границы справа и слева, где точка может "исчезнуть", то с вероятностью 1 она достигает одной из границ, время вроде как тоже конечно |
Copyright © 2000−2023 MathForum.Ru & MMOnline.Ru Разработка, поддержка и дизайн — MMForce.Net | ![]() | ![]() |