Как доказать, что элемент принадлежит полю

У нас есть поле размерности 2 - F(2) и неприводимый полином $x^3+x+1$. Мы построили поле расширения по этому полиному. В итоге получили полином, принадлежащий полю $\alpha^3+\alpha +1$.
Мне преподаватель привёл пример с $\alpha^2$:
Расписал как $\alpha^6+\alpha^2+1=0$
$(\alpha+1)(\alpha+1)$
$\alpha^2+1+\alpha^2+1=0$
Можете, пожалуйста, объяснить, что откуда берётся?

Как теперь доказать, что элемент $\alpha^4=\alpha^3*\alpha$ будет принадлежать полю? Подскажите, пожалуйста!

1. Если под расширением понимать (по классике) поле классов вычетов многочленов с коэффициентами из GF(q), то элементами поля являются классы, а многочлены - это представители этих классов. Каждый многочлен входит в какой-то класс, но сам по себе не является элементом поля. Как в этом случае понимать вопрос и что нужно доказывать?
2. Если классы отождествить с их минимальными (по степени) представителями, то, учитывая, что порождающий многочлен не является минимальным представителем в классе, он не будет элементом такого поля. При таком понимании данное поле содержит все полиномы степени не более 2. Что тут доказывать?

Не следует для порядка поля использовать термин «размерность», который обычно используется в смысле «степень» (поля над подполем).