Рассмотрим модель, в которой длина средней линии профиля и ширина не меняются.
Точнее говоря, ковер сворачивается в спираль. Средняя линия профиля задается уравнением:
$\rho=a\phi$. Это спираль с постоянным расстоянием между витками, равным
$A=2\pia$, что позволяет найти
$a$ - коэффициент, определяющий кривую. Далее можно выразить длину средней линии через интеграл по радиусу-вектору, приравнять данной длине
$B$ и решить полученное уравнение относительно верхнего предела интегрирования, равного
$R$. Но уравнение жутковатое и все равно придется решать численно (оценивать).
Мы пойдем другим путем.
Пусть
$k$ - число всех витков и
$i=\{0,1,...,k-1\}$ - текущий номер витка. Расстояние от начала координат до начала витка с номером
$i$ равно
$iA$, длина этого витка удовлетворяет неравенствам:
$2\piiA<l_i<2\pi(i+1)A$. Сложив эти неравенства получим оценки для длины ковра, сворачивающегося в
$k$ витков.
$\pik(k-1)\cdotA<B<\pik(k+1)\cdotA$.
Считаем, что длина примерно равна среднему арифметическому концов интервала, т.е.
$B=\pik^2\cdotA$. Погрешность при этом не превышает половины длины интервала.
$\Delta<\pikA$. Если число получающихся витков велико, то погрешность (относительная) мала.
Считая равенство точным решим уравнение:
$k=\sqrt{\frac{B}{\piA}}$. Радиус
$R=(k+0,5)A$, или, пренебрегая относительно небольшой величиной,
$R=kA=A\sqrt{\frac{B}{\piA}}$
