Число триплетов с разностями (2,4) и (4,2) в ряду простых чисел
.
Одной из проблем, указанных А.Бухштабом в известном учебнике,
является бесконечность числа триплетов с разностями (2,4) и (4,2) в ряду
простых чисел. Эта проблема аналогична проблеме близнецов.
Число триплетов (2,4) или (4,2) в ПСВ определяется функцией φ_3(М) = П(р – 3)..
Группы вычетов (2,4) и (4,2) существуют в ПСВ попарно как зеркальное
отображение друг друга и мы будем рассматривать их совместно как
группу вычетов 6-го размера с разностями (4,2,d,2,4) в ПСВ(-1/2M,-1/2M),
где d – разность между 3-м и 4-м вычетами группы.
ПСВ(-1/2M,+1/2M) представляет собой систему вычетов, наименьших
по абсолютной величине.
Возьмем общую разность между крайними вычетами группы равной 2p_t
(p_t – из интервала простых чисел ПСВ(-1/2M,+1/2M)).
p_r + 1 < p_t – 6 < p_t < p2_r + 1
Получим приведенную группу вычетов (ПГВ).
F[6] = (0, 4, 6, 2p_t – 6, 2p_t – 4, 2p_t ),
которую можно так же представить с минимальными по абсолютной
величине вычетами
F[6] = (- p_t, 4 – p_t, 6 – p_t, p_t – 6, p_t – 4, p_t),
Особенности таких групп.
1) Числа p_t должны быть из класса 6к – 1.
2) Числа p_t могут быть только 10х ± 3.
Теорема. Число триплетов (2,4) и (4,2) в ряду простых чисел бесконечно.
Доказательство. Прежде всего надо доказать, что такие группы из 2-х
триплетов F[6] существуют в ПСВ.
Рассмотрим приведенную группу
F[6] = (0, 4, 6, 2p_t – 6, 2p_t -4, 2p_t )
Т.к. число вычетов в группе n = 6 , то нам надо проверить критерий
существования групп K(p) = p – n + m(p) в ПСВ по модулям p = 3, p = 5,
где m(p) – число вычетов группы, сравнимых по модулю р , входящем
в модуль М. При p > 5, K(p) > 0.
Определяем модули сравнений вычетов группы F[6].
В первой колонке вычеты группы, сравнимые с 0.
В последующих колонках вычета группы, с которыми сравниваются вычеты
первой колонки
2p_t ,.. ... ... 4, .. 6, .. 2p_t – 6, .. 2pt – 4,
2p_t – 4 ,. . 4, .. 6, .. 2p_t – 6,
2p_t – 6,. . 4, .. 6,
6 ,... ... ... .. 4,
4,...
Сводная таблица модулей сравнения.
Числитель – модуль, знаменатель – их число.
(p_t – 2) / 2, (p_t – 3) / 2, (p_t – 5) / 2, 6 / 2, 4 / 2, 2 / 2,
p_t / 1, (p_t – 4) / 1, (p_t – 6) / 1
Непарные модули p_t , p_t – 4, p_t – 6 - вычеты ПСВ
взаимно простые с модулем M, следовательно, K(p) = 1.
Модуль р = 3, K(3) = 3 + m(3) - 6
Mы имеем два модуля 6 и два модуля рt – 2 ,( т.к. p_t = 6k – 1),
сравнимых с р = 3, т.е. всего 4. Отсюда
m(3) = 4, K(3) = p – n + m(3) = 3 – 6 + 4 = 1.
По модулю р = 3 группа проходит в ПСВ.
Модуль р = 5. Т.к. p_t = 10 +/- 3, то при p_t = 10x + 3 есть 2 модуля р_t – 3
и при р_t = 10х – 3 есть 2 модуля р_t – 2, т.е.
m(5) = 2, K(5) = p – n + m(5) = 5 – 6 + 2 = 1 .
Группы F[6] существуют в любой ПСВ.
Теперь надо доказать, что число таких групп в ПСВ нечётное.
Число групп F[6] в ПСВ определяется формулой А_6φ_6(M).
Функции ф_6(р) и φ_6(M) нечётные. Коэффициент А_6 = П K(p) / φ_6(p),
для тех р, когда K(p) > φ_6(p).
Критерий существования групп K(p) = p – n + m(p) нечётный
при четных n и m(p).
В нашем случае n = 6 , m(p) – чётная, т.к. модули сравнений вычетов
группы F[6] парные. Таким образом, число групп F[6] c триплетами
нечётное при любом модуле. Т.к. вычеты ПСВ расположены симметрично
относительно центра ПСВ(-1/2M,+1/2M), то одна из групп обязательно
должна быть в центре этой ПСВ.
Это натуральная группа
(-p_r, 4 - p_r, 6 - p_r, p_r - 6, p_r - 4, p_r)
В выборе модуля ПСВ мы не ограничены. Следовательно,
число таких групп среди простых чисел бесконечно.
Редактировалось 2 раз(а). Последний 14.04.2019 16:10.
