Разработав подробно свойства функции
$\varphi_2(M),$ возник вопрос:
что будет означать функция Эйлера
$n$-го порядка, т.е.
$\varphi_n(M)=\prod(p-n),\;\;p>n$Оказалось, что эти функции дают число групп (кортежей) вычетов ПСВ, имеющих
в своем составе
$n$ вычетов.
В зависимости от состава этих групп (кортежей) по разностям между вычетами,
к функции
$\varphi_n(M)$ необходим коэффициент
$A_n.$Отсюда сразу возникает вопрос об асимптотическом выражении отношений
данных функций к модулю
$M=p\#.$По аналогии с функциями Эйлера первого и второго порядка очевидно
$\varphi_n(M)/M\sim A_n/\ln^n x,\;\;n<p<x$Но как это доказать? У Бухштаба приводятся только формулы Мертенса и Бруна
без доказательств. У Прахара доказывается теорема 5.5(1) где рассматриваются
интересные неравенства. Остановимся на одном из них.
$\prod(1-1/p)^{-s}<c\prod(1-s/p)^{-1},\;\;s<p\in P$(конечное множество простых чисел)
Оно выводится из неравенства Бернулли. После несложных преобразований получим
$\prod(1-1/p)^s>\frac 1 c\prod(1-s/p)\sim A_s/\ln^s x,\;\;s<p<x$Более наглядно этот же результат можно получить иначе.
Рассмотрим отношение произведений
$\varphi_2(M)/\varphi(M)=\prod\varphi_2(p)/\varphi(p),\;\;\;M=p\#$Это отношение представляет собой среднюю плотность вычетов-близнецов
среди вычетов ПСВ.
Сравним произведение отношений
$\varphi_2(M)/\varphi(M)\;\land\;\varphi(M)/M$1 1 3 5 9 11 15 ... и _
1 2 4 6 10 12 16...
1 2 4 610 12 16 ... _ _ 2 3 5 7 11 13 17...
Оба произведения при
$M\rightarrow\infty$ стремятся к
0, при этом
$\varphi_2(M)/\varphi(M)>\varphi(M)/M$Если теперь выделить первые члены этих произведений как коэффициенты, то
$\varphi_2(M)/\varphi(M)<\varphi(M)/M$, следовательно
$\varphi_2(M)/\varphi(M)\sim\varphi(M)/M\sim A/\ln x$Возьмем произведение этих отношений
$\varphi_2(M)/\varphi(M)\cdot\varphi(M)/M=\varphi_2(M)/M\sim A_2/\ln^2x$И мы получили формулу В.Бруна в асимптотической форме.
Рассматривая далее отношения функций Эйлера по цепочке
$\varphi_n(M)/\varphi_{n-1}(M)\sim\varphi_{n-1}(M)/\varphi_{n-2}(M)\sim...\sim\varphi_2(M)/\varphi(M)\sim\varphi(M)/M\sim A/\ln x $получим
$\varphi_n(M)/M\sim A_n/\ln^nx$
