Проблемы аддитивной теории простых чисел

Невычеты ПСВ -
- простые числа, составляющие модуль ПСВ ($p_r\#$) и кратные им
числа меньше модуля.
Общее число их В ПСВ равно $M(p_r)-\varphi(M),$ т.е. множество чисел
праймориала включает в себя вычеты ПСВ и невычеты ПСВ.
В свою очередь вычеты ПСВ состоят из простых и взаимно простых с модулем чисел.
Невычеты образуют классы чисел, не превосходящих модуль: $(n\in N)$
1) кратные $p=2,\;\;a_n=2n,$
2) кратные $p=3,\;\;a_n=3+6(n-1),$
3) кратные $p=5,$ cуперпозиция двух классов,
$a_n=5+30(n-1)$
$a_n=25+30(n-1)$
4) кратные $p=7,$ cуперпозиция 8-ми классов (ПСВ(30)),
$a_n=7+210(n-1)$
$a_n=49+210(n-1)$
$a_n=77+210(n-1)$
$a_n=91+210(n-1)$
$a_n=119+210(n-1)$
$a_n=133+210(n-1)$
$a_n=161+210(n-1)$
$a_n=203+210(n-1)$
5) кратные $p=11,$ cуперпозиция 48-ми классов (ПСВ(210)),
$a_n=11+2310(n-1)$
..........................................................................
..........................................................................
$a_n=2299+2310(n-1)$
6) кратные $p=13$. cуперпозиция 480-ти классов (ПСВ(2310)),
..........................................................................
7) кратные $p=17$ и т.д.

Вычеты ПСВ можно определять по формуле

$a_x=\mid \prod p_s^{\alpha_s}\pm\prod p_t^{\beta_t}\mid<M=\prod p_s\cdot p_t$
где $\alpha_s,\;\beta_t\in N.$

Порядковые номера вычетов здесь не определяются.

В чем преимущество рассмотрения закономерностей распределения
простых чисел с помощью ПСВ:
1) диапазон исследования ограничен модулем в отличии от
натурального ряда,
2) полная симметрия вычетов ПСВ относительно 0,5M

$M(p_r) - a_n=a_{\varphi(M)-n},$
3) в любой ПСВ есть интервал последовательных простых чисел

$1<p_{r+1}. . . . .p_n<p^2_{p_{r+1}}$
Определим, какую долю составляют простые числа среди вычетов ПСВ
по модулю $M=p_r\#.$
Число простых чисел в ПСВ по Чебышеву $\pi(M)-r\sim\frac M{lnM}$

Число вычетов ПСВ по Мертенсу $\varphi(M)\sim M\frac C{lnM}$

Их отношение $q$ = $\frac{\pi(M)-r}{\varphi(M)}\sim\frac{lnM}{ClnM}$, т.е. с ростом $p_r$ доля простых чисел в ПСВ уменьшается, но стремится к определенному пределу.
Практический расчет показывает следующий результат
М(7) = 210, q = 0,96
(11) 2310,- - - - 0,73
(13) 30030- - - -0,56
(17) 510510- - - -0,46
(19) 9699690- - -0,40
(23) 223092870- - 0,34



Редактировалось 1 раз(а). Последний 05.12.2019 12:16.

загляни в личку...

. Функция Эйлера второго порядка мультипликативная, т.е.

φ_2 (p_r p_s) = φ_2 (р_r) φ_2(р_s) = (р_r - 2)(р_s - 2)

Доказательство. Пусть х пробегает значения r_1,r_2,...r_j вычетов ПСВ по модулю р_r,
а у пробегает значения s_1,s_2,...s_i вычетов по модулю р_s.
Составим всевозможные числа вида хр_s + ур_r, соответствующих различным парам чисел r и s.

Число таких чисел равно φ(р_r)φ(р_s). Так как (р_r,р_s) = 1, то числа p_r s_i+р_s r_j образуют
ПСВ по модулю m = р_s p_r
Составим таблицу указанных чисел в следующем порядке:

p_r+p_s,.... 2p_r+p_s,............ .φ(p_r)p_r+p_s

p_r+2p_s,,,,,,, 2p_r+2_s,...............φ(p_r)p_t_+2p_s
............................................................
pr+φ(p_r)p_s,..... 2p_r+φ(p_r)p_s,..........φ(p_r)p_r+φ(p_r)p_s

Числа каждой строки являются ПСВ по модулю р_r, а числа каждой колонки являются ПСВ по модулю р_s.

Следовательно, в каждой строке и в каждой колонке есть по одному вычету такому, который не имеет своего близнеца.

При данном расположении чисел в таблице вычеты, не имеющие близнецов, составляют одну строку и одну колонку.

Любая строка и колонка имеют общий вычет, отсюда:

φ_2 (p_r p_s) = φ(р_r) (р_s) - (φ(р_s)) + 1 = (φ(р_r) - 1)(φ(р_s) - 1) =

φ_2(р_r) φ_2(p_s) = (р_r - 2)(р_s - 2)

На основании теоремы 3, полагая φ_2 (2) = 1, получим

φ_2 (М) = П φ_2 (р) =П (р – 2) ; р\М

Теперь рассмотрим функцию Эйлера второго порядка по любому составному модулю.
Надо рассмотреть два случая нечетного и четного составного модуля.
Для нечетного составного модуля $m = p_s^{\alpha}\cdot p_t^{\beta}…$

$\varphi_2(m)=m\prod(1-\frac 2 p),\;\;$ где $p\mid m$

Для четного составного модуля $m =2^n p_s^{\alpha}\cdot p_t^{\beta}…$


$\varphi_2(m)=\frac 1 2 m\prod(1-\frac 2 p),\;\;$ где $p\mid m$ кроме р = 2.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 20.05.2020 17:43.

http://www.bitman.name/math/article/226/332?fbclid=IwAR0oUhjKJL6CorljdcBavho8wSr5blslPs3ALBXedHClr5FSjDD52t83GHI

Посмотри как усердно трудяться италянцы что понять связь с прогрессиями и значениями Функции Эйлера , правда их такая статистика, думаю
для понимания этой связы не продвинулась ни на шаг.
Там попитка обьяснит в принципе эту связь но неправильный подход их запутал окончательно,то же самая ошибка как и с простыми числами.

Все ошибки и за непонимания остатков или более точно теория чисел нуждаеться в строгой классификаций чисел на виды ,без которых
невозможно показать закономерность простых чисел в натуральном ряде.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 20.05.2020 23:12.

787*157=123559
157*157=24649
123559 -24649=98910>98910/157=630
123559+24649=148208>149208/157=944

944+630=1574>2*787
944-630=314>2*157
314>314/100=π

1574/314=787/157=5.0127388535031847
π и вычеты.
Здесь формула закономерности вычета 157 для всех его произведении трлько двух простых 157*P любого диапазона .

https://www.facebook.com/photo.php?fbid=4095002023858185&set=gm.3041502899267181&type=3&theater&ifg=1



Редактировалось 3 раз(а). Последний 25.05.2020 09:35.

Цитата
vorvalm
Докажем формулу Эйлера второго порядка для нечетных модулей.
$m=p_r^n p_s^t$


$\varphi_2(p_r^n)=p_r^{n-1}(p_r-2)$
$\varphi_2(p_s^t)=p_s^{t-1}(p_s-2)$

Так как функция Эйлера второго порядка мультипликативная, то

$\varphi_2(m)=\varphi_2(p_r^n)\varphi_2(p_s^t)=p_r^{n-1}p_S^{t-1}(p_r-2)(p_s-2)=m\prod(1-\frac 2 p),\;\;p|m$

Покажи числовое выражение твойх формул ,Функция Эйлера любая мультипликативная а не только 2 го порядка кстати что такое функция Эйлера второго порядка?

Функции Эйлера высших порядков рассматривались ранее в этой теме применительно

к ПСВ по модулю M = p#. Теперь рассмотрим эти функции по любому составному модулю.

Естественным продолжением сортировки вычетов ПСВ является определение числа

групп вычетов (кортежей) в ПСВ по модулю р. Принцип тот же. Выбираем группу (кортеж)

с вычетами $а_1, а_2, а_3,.....а_n$ и вычитаем первый вычет из всего состава группы. Получим

приведенную группу с последовательными вычетами, что позволяет сравнивать ввычеты

группы с вычетами ПСВ.

$(0, d_1=a_2-a_1, d_2= a_3-a_1, d_3=a_4-a_1....d_(n-1)=a_n-a_1) или (0, d_1, d_2, d_3,...d_(n-1))$

Например, возьмем приведенную группу D[4] = (0, 2, 6, 8) и сравним ее с вычетами ПСВ по модулю $р = 5$.

0 - - - 2 - - - 6 - - - 8

1 - - - 3 - - - 7 - - - 9

2 - - - 4 - - - 8 - - - 10

3 - - - 5 - - - 9 - - - 11

4 - - - 6 - - -10 - - - 12

Как видим, только одна группа проходит по модулю $р = 5$. Это группа 1 - 3 - 7 - 9.

У остальных групп есть вычеты кратные $р = 5.$ Продолжим таблицу до модуля р = 7

5 - - -7 - - -11 - - -13

6 - - -8 - - -12 - - -14

Здесь проходят уже 3 группы. Вывод очевиден . Число таких групп в ПСВ по модулю $р$

равно $N(D[4]) = p - 4,$ где $4$ - число вычетов в группе. Однако, вернемся к модулю $р = 3.$

Здесь проходит одна группа, но по формуле не получается. В чем дело ?

А дело в том, что необходимо учитывать сравнимые вычеты группы по модулю $р$.

Среди вычетов группы нет сравнимых по модулям $р = 5$ и $р = 7$, но по модулю $р = 3$

имеем два сравнимых вычета 0 - 6 и 2 - 8. Сравнимые с $р$ вычеты группы в сумме

с любым вычетом ПСВ(р) не могут быть кратны $р$, а вычеты, сравнимые между собой

по модулю $р$ в сумме с вычетом группы оба становятся кратными $р$.

Они как-бы выпадают из состава группы, т.е. фактически "уменьшают" число вычетов группы.

Поэтому введем функцию $m(p)$ - число вычетов группы, сравнимых по модулю $р$

с каким-либо другим вычетом этой группы.

В случае с $р = 3$ имеем $m(3) = 2$, отсюда $N(D[4']) = 3 - (n - m(p)) = 3 - 2 = 1.$



Теперь мы можем дать определение функции Эйлера $n$ - го порядка.



Функция Эйлера $φ_n(р)$ $n$-го порядка определяет число групп вычетов (кортежей)

в ПСВ по модулю $р$, состоящих из $n$ вычетов взаимно простых с модулем $р$

и несравнимых по модулю $р.$

$φ_n(p) = p - n,$ при $p > n$, при $p ≤ n$, $φ_n(p) = 1.$

Доказательство.

Максимальное число взаимно простых вычетов по модулю р равно функции Эйлера φ(p).

Если число вычетов в группе n ≤ φ(p), то все они являются вычетами ПСВ по модулю р.

следовательно число таких групп равно

φ_n(p) = p - n

При n = φ(p), φ_n(p) = p - φ(p) = 1.

Если число вычетов в группе n > φ(p), то среди них будут сравнимые по модулю р,

но функция φ_n(p) их не учитывает, т.к. условия определения функции φ_n(p) не выполняются.

Чтобы остаться в рамках определения будем считать, что вычеты такой группы должны быть взаимно

простыми и несравнимыми по ближайшему простому модулю q > p. Тогда среди вычетов этой группы мы будем

иметь полные системы вычетов по всем p < q, следовательно, число вычетов группы, кратных

и сравнимых по модулю p будет равно m(p) = n - φ(p). отсюда число групп равно



p + n - φ(p) - n = 1. т.е. формально φ_n(p) = 1 при p ≤ n.





.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 25.08.2020 18:57.

а кто то эти простыни текста из ворда читает?

для тех, кто еще не знакомы
с клоунами Бимом и Бомом,
сообщаю - эти шуты
фанатеют от простоты.

им обоим плевать на ковиды -
они оба видали виды.
им режим, не режим - все едино,
что на два и на три делимо.

каждый день несусветно талдычат
то про Эйлера, то про вычет,
про прогрессии и про модули
тычат рьяно друг в дружку мордами.

делать нечего на изоляции,
вот приходится и изголяться им -
ворошить цирковые опилки,
меж собой умножая цифирки.

что ж до смысла - искать то полно вам -
это все полоумные клоуны,
потешают народ репризами.
им таблетки от дебилизма бы.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 16.09.2020 01:00.