четного числа суммой нечетных простых.
Одним из аспектов проблемы Гольдбаха является число представлений
четого числа суммой нечетных простых чисел > 4.
Используя свойства ПСВ, мы можем найти достаточно точную.оценку числа
представлений четного числа.
Для этого рассмотрим центральную часть ПСВ от -0,5М до +0.5М, где
росположены простые числа от -
$-p^2_{r+1}$ до
$+p^2_{r+1}$.
Условимся называть положительную. (отрицятельныую) часть простых чисел
интервалом I(p) простых чисел ПСВ, а обе вместе - диапазоном D(p) простых чисел ПСВ
При
$p_n<p^2_{r+1}$ получим диапазон D(p) и два интервала I(p).
$-p_n.....-p_t.......-p_s........-p_{r+1} ....-1, 0, +1....p_{r+1}.......p_s........p_t........p_n.$Среди простых чисел этого диапазона можно найти нсколько пар, которые в сумме
дают одно и тоже число. Например, 23 - (- 7), 19 - (-11), 17 - (-13) и т.д.
Очевидно. что такие пары перекрывают друг друга на числовой оси несколько раз,
т.е.вычеты одной группы находятся между вычетами другой.
Под суммой мы будем понимать фактическую разность d между вычетами из разных интервалов.
Можно предположить, что все пары простых чисел диапазона D(p) могут образовать сумму,
но это не так.Часть простых чисел не найдут себе пару в этом диапазоне, т.к. мы не
можем использовать простые числа, которые расположены за пределами диапозона.
Например,
сумма
$2p_n$ не может быть представлена суммой
$p_s+p_t$, т.к.
тогда
$p_t>p_n$, а сумма
$2p_{r+1}$ не может быть предствавлена
$p_s+p_t$, т.к. тогда
$p_s<p_{r+1}$Поэтому надо уменьшить диапазон D(p) сверху до
$d_{max}<p^2_{r+1}$ и снизу до
$d_{min}> p_{r+1}$.
Уменьшенный диапазон должен занимать среднюю часть диапазона D(p) и при переходе
от ПСВ(
$p#$) к ПСВ(
$p_{r+1}#)$ уменьшенные диапозоны не должны перекрывть друг друга, т.е.
$d_{min} -p_{r+1}\approx p^2_{r+1}-d_{mfx$ отсюда
$p_r<\sqrt{d_{max}+d_{min}}$, т.к.
$d_{max}+d_{min}= 2 d_{mid}$ , то
$p_r<\sqrt{2d_{mid}$ , приняв
$d=d_{mid}$ получим
$p_r<\sqrt{2d}$В результате уменьшееный диапазн будет
$d_{min}>\frac{p^2_r } 2$ и
$d_{max}<\frac{p^2_{r+1} } 2$Все эти расчеты применимы для ПСВ по модулю М > 210, т.к. в этой ПСВ интервал I(p) > 0,5M
Пример
ПСВ(11#)........
$d_{min}=62>121/2$ ......
$d_{max}=84<169/2$ПСВ(13#).......
$d_{min}=86>169/2$.......
$d_{max}=144<289/2$... и т.д.
Возьмем разность d из диапавзона D(p) в ПСВ(М) будем считать ее суммой
$d=p_s+p_t$, хотя
фактически это разность
$p_s-(-p_t)$Число таких разностей в ПСВ(M) равно
$N(d)=A_2\varphi_2(M)$ ,,
$A_2=\prod \frac{p-1}{p-2}$, где
$p\d,M$;,
$p>2$Если эти разности не перекрвают друг друга, то они займут числовое пространство
$dN(d)>> M$, следовательно,
чтобы все эти разности уложились в модуле М, они должны обязательно перекрывать друг друга.
Это означает, что разность d представляется суммами разных простых чисел. Эти разности относительно равномерно
распределены в ПСВ и мы можем вычислить среднее число перекрытий.
$n(f) =\frac{dN(d)}{M}= d\cdotA_2\cdot\frac{\varphi_2(M)}{M}$Любые раности ПСВ существут попарно из-за симметричности вычетов, отсюда число представлений
разности d равно:
$N(f)=[0,5n(f)] + m$,, где
$m$ - число представлений, когда
$p_s<p_{r+1}$. В этом случае
$p_s$не является вычетом ПСВ и формула их не учитывает. Возможное представление р + 1
не превышает пгрешности формулы, отсюда
$N(f)> 0,5dA_2\frac{\varphi_2(M)}{M}$Коэффициент
$A_2$ вносит большую неравномерность в число представлений. Он может
быть равен 1 при
$d=2^x$ или в несколоко раз больше при наличии большого числа
небольших простых делителей числа d.
Примеры
1)
$d = 72, ,p_r =11,,A_2=2,,M(11#)=2310,,\varphi_2(M)=135$$N(f)>36\cdot 2\cdot\frac{\varphi_2(M)}{M}=4<5$ (фактически)
2)
$d=510510,,p_r=1009,,A_2=4,137,,\varphi_2(M)/M=0,008639,
N(f)>9123<9493$3)
$d=524288,,p_r=1021,,A_2=1,,
\varphi_2(M)/M=0,008588,,,,
$N(f)>2251<2368
Следует обратить вниманиена на два последних примера.Числа почти равные, но число представлений
отличается в 4 раза из-за коэффициента
$A_2$Редактировалось 10 раз(а). Последний 05.12.2018 21:49.
