.
В результате некомпетентного вмешательства
ammo77 в тему пришлось отложить ее продолжение .
Возникает вопрос, является ли разность
$d = 2p_{r - 1}$ максимальной в ПСВ. Оказывается,
что в ПСВ по модулям до М(19) это так и есть. Однако при М(23) в ПСВ кроме разности 38 появляется
разность 40, т.е. разность 38 не является максимальной. Пришлось создавать специальную программу
для вычисления
$d-max$ в ПСВ и при М(83) была найдена разность 166, т.е.
$d_{max} = 2p_r$.
Дальнейшие поиски показали, что разности в ПСВ не превышают
$d = p_{r + 1}..$Чтобы доказать, что в ПСВ нет разностей
$d = 2p_{r+1}$ находим число этих разностей в ПСВ.
$N(d) = A_2\varphi_2(M)$ , для
$d = 2p_{r+1}, .A_2 = 1,. N(d) = \varphi_2(M)$ , отсюда
$d\cdot N(d) > M(p_r)$ ,
т.е. разности
$d = 2p_{r+1}$ в основном перекрывают друг друга.
Число таких разностей нечетное, т.к. функция
$\varphi_2(M)$ нечетная и одна разность находится
в центре ПСВ по модулю (-0,5M,+0,5)М. Модуль
$M(p_r$} состоит из модулей
$M(p_{r - 1} ),$а они в свою очередь состоят из модулей
$M(p_{ r- 2}),$ и т.д.
и можно считать распределение разностей
$d = 2p_{r+ 1}$ в ПСВ относительно равномерным.
В этих же узлах эти разности могут и не перекрывать друг друга, но между ними
всегда есть вычеты М+1 или М-1, или оба вместе.
Случай, когда оба близнеца не являются вычетами ПСВ разобран в теореме.
Таким образом, отдельно существующей разности 2p_{r+1} в любой ПСВ нет.
Они или перекрывают друг друга или между ними есть другие вычеты ПСВ.
Исходя из этого мы можем дать оценку максимальной разности ПСВ по модулю
$M = p_r#$$2p_{rr - 1} < d_{max} < 2p_{r + 1} .$Перенесем 'эту оценку на простые числа ПСВ
$p<p^2_{r+1}$,
Т.к.
$p^2_{r+1}$ является вычетом
$a_n$ в ПСВ по модулю
$M(p_r)$ и следующий за ним вычет
$a_{n+1}$является простым числом, то можно записать
$a_{n+1} - a_n <2p_{r + 2},$ но
$a_n=p^2_{r+1}$ , т.е.
$p_{r+1}=\sqrt {a_n},$ отсюда
$a_{n+1} - a_n<2\sqrt{a_n}$Простые числа в интервале
$1<p<p^2_{r+1}$ являются вычетами данной ПСВ и для них
можно записать
$p_{n+1}- p_n<2\sqrt {p_n}$Здесь простые числа уже не связаны с ПСВ.
Эта оценка вписывается в оценку Ингема, который доказал, что
$p_{n+1} - p_n < p_n^\alpha$ .., где
$\alpha \rightarrow {0,5}$ при
$p\rightarrow \infty$Минимальным показателем на сегодня является
$\alpha$ = 21/40 = 0,525, т.е. мы можем записать
$p_{n+1} - p_n < p_n^{0,025}\sqrt {p_n}$ и при достаточно больших
$p_n$ получим
$p_n ^{0,025} > 2$Редактировалось 4 раз(а). Последний 03.02.2019 12:09.
