заключается в доказательстве бесконечности простых чисел вида 2^n – 1
Несколько слов о числах Мерсенна
При четных n числа Мерсенна составные и кратные р = 3, т.к.
при n = 2k будем иметь
2^2k – 1 mod 3 = 0
При составном n = p*q числа Мерсенна составные
2^pq – 1 = (2^q)^p – 1 = (2^q – 1)R
При простом n числа Мерсенна могут быть простыми или составными,
причем из класса 6к + 1
Дальше полагаем число n всегда простое и р = 2^n – 1
Будем рассматривать эти числа в ПСВ по модулю М = р_r#
Простые числа основной ПСВ последовательно расположены в интервале
p_(r + 1) ……..р……… p^2_(r + 1)
но мы берем ПСВ с минимальными по абсолютной величине вычетами, где
в центре образуется диапазон простых чисел от . - p^2_(r + 1) до p^2_(r + 1)
- p^2_(r + 1)…….-.р…….- p_(r + 1)… -1, 0, +1,.. p_(r + 1) ……..р……… p^2_(r + 1)
Здесь р – (-1) = р + 1= 2^n и -р – (+1) = - (р + 1) = - 2^n
Эти числа перекрывают друг друга с разностью d = 2. и образуют группу
(кортеж) из 4-х вычетов с разностями между вычетами (р – 1 , 2, р – 1).
Приведенная группа c числом вычетов N = 4.
D[4] =(0, p – 1, p + 1, 2p) = (0, 2^n – 2, 2^n, 2(2^n – 1) )
Очевидно, что при равенстве вариантов групп числа р и 2^n находятся в
разных группах и отделить составное число Мерсенна от простого невозможно,
поэтому составим объединенную группу D[4], имеющую в своем составе вычеты
первого и второго вариантов. За основу возьмем группу первого варианта,
но заменим вычет р + 1 на вычет 2^n
D[4] = (0, p – 1, 2^n, 2p)
Здесь числа р и 2^n связаны между собой формулой р + 1 = 2^n
Для определения проходимости группы находим модули сравнений вычетов
вычеты, сравнимые с 0;
2р, . 2^n ,. р – 1
вычеты, сравнимые с р – 1
2р – (р – 1) = р + 1,..,. 2^n - (p – 1)
сравнение с вычетом 2^n
2р – 2^n
Данную группу надо проверить на проходимость только по модулю р = 3.
Так как простое число Мерсенна из класса 6к + 1, то мы имеем два вычета р – 1
и 2р – 2^n , сравнимых по модулю р = 3. т.е. m(3) = 2 и проходимость
группы по модулю 3 равна K(3) = 3 + m(3) – N = 3 + 2 - 4 = 1
Таким образом мы доказали, что числа Мерсенна существуют в ПСВ по любому модулю M = р#
Но нам надо доказать, что число таких групп в ПСВ нечетное, т.к.тогда одна
из групп обязательно должна быть в центре ПСВ т.е .в интервале простых чисел
Число групп (кортежей) из 4-х вычетов в ПСВ определяется формулой
N(D[4]) = A_4φ_4(M), здесь коэффициент A_4 = Π K(p) / φ_4(p), где
K(p) = p + m(p) – N; – проходимость группы по модулю р
φ_4(p) – функция Эйлера по модулю р
Функции φ_4(p) и φ_4(M) нечетные
Проходимость K(p) нечетная при четных m(p) и N.
В нашем случае m(3) = 2, N = 4.
Таким образом число групп D[4] в ПСВ по модулю M = pr# нечетное и одна
группа находится в центре ПСВ, т.е. среди простых чисел
1
Редактировалось 2 раз(а). Последний 16.03.2019 09:07.
