По определению числом Жермен считается простое число р, если число
2р+1 также простое.
Эти числа могут образовывать цепочки, когда они следуют друг за другом.
Обозначим числа Жермен буквой g по начальной букве имени этих чисел.
Тогда последовательность этих чисел
$g_1.....g_2.....g_3.........g_n$ при общем члене
$g_n = 2g_{n - 1} + 1$Например, (2, 5, 11, 23, 47) или (89, 179, 359, 719, 1439, 2879)
Первый пример уникален, т.к. начальных чисел с последними цифрами 2 и 5 не существует.
Другие цепочки с начальным вычетом 10n +1 ,будут иметь только три члена , т.к.
второй вычет будет 20n + 3, третий 40n + 7 , но 4 -ый будет 80n + 15.
А вот вторая цепочка с вычетами вида 10х + 9 не ограничена последней цифрой.
Вот с этими цепочками и будем работать.
Определим нулевой вычет цепочки
$g_0=\frac{g_1-1} {2}$,
который располагается перед вычетом
$g_1$. Он должен быть составным и
имеет минимальный простой делитель
$p_x$.
Оказывается, что вычеты таких цепочек составляют ПСВ (приведенную систему вычетов)
по модулю
$p_x$. т.к. они взаимно простые и несравнимые с модулем
$p_x$. Общий член цепочки с вычетом
$g_0$$g_n = 2^ng_0+ 2^n -1$При
$n=\varphi(p_x)$ будем иметь
$2^n \equiv 1(mod p_x)$ т.е.
$g_n\equiv g_0(mod p_x)$ . т.к.
$g_0 = kp_x$Следовательно, максимальное число вычетов цепочек чисел Жермен будет равно
$n=\varphi(p_x)-1 = p_x -2$, кроме случаев, когда число
$2^n -1$ является квадратичным вычетом по модулю
$p_x$В этом случае
$n =\frac{p_x - 1}{2}-1 $, например при
$p_x = 7, \varphi(7) = 6$, но
$2^3 -1=7$ , следовательно,
число вычетов будет не 5, а только 2.
Редактировалось 1 раз(а). Последний 10.12.2018 19:29.
, "умножить все прогрессии"