Проблемы аддитивной теории простых чисел

Автор темы vorvalm 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеМатематики решили задачу кубов для всех чисел от 1 до 10006.10.2019 11:48
16.07.2019 10:40
между прочем
78805-15681996*x+1552517604*x^2

78805-15681996*1+1552517604*1^2=P

78805-15681996*17+1552517604*17^2=P
16.07.2019 14:04
между прочим
не засерай мою тему ерундой



Редактировалось 1 раз(а). Последний 27.07.2019 21:27.
09.08.2019 11:16
между прочим
Степенные последовательности простых чисел типа m +/- q^n
при m = kM/p могут состоять из простых чисел, если q = p делитель $M$.
Максимальное число вычетов таких цепочек не должна превышать $\varphi$(p_(r+1))
при условии, что степенное сравнение m +/- q^n(mod p_(r + 1)) = 0 имеет решение,
но не имеет квадратичного вычета. Иначе число вычетов цепочки будет равно $0,5 \varphi$(p_(r + 1))
Если сравнение m +/- q^n(mod p_(r + 1)) = 0 не имеет решения, то надо проверять
последовательно следующие после p_{r+1} простые через аналогичные сравнения.
Степенные цепочки могу начинаться и не при n = 1, т.е. число m +/- q
не будет простым, при этом делителями числа m +/- q будут простые числа,
не входящие в число $m$. В этом случае цепочка будет начинаться с n = 2
Это неполные цепочки второго сорта, но тоже представляют определенный интерес.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 09.08.2019 11:57.
09.08.2019 13:05
простые числа
Ты забил о цепочках 3-х и последующих сортов \\\\\смешно
09.08.2019 13:33
между прочим
Цитата
ammo77
Ты забил о цепочках 3-х и последующих сортов
Я их оставил для тебя. Все равно ты в них не разбираешься.
13.08.2019 10:18
между прочим
По классическому определению, приведенная система вычетов (ПСВ) представляет собой
систему чисел, взятых по одному из каждого класса взаимно простого с модулем. (Бухштаб)
В этом определении не предусматривается, что эти числа в ПСВ как-то связаны между собой,
кроме взаимной простоты и несравнимостью с модулем.
Если же эти вычеты расположить в порядке их возрастания, начиная с наименьшего, то получим
упорядоченную систему вычетов. При этом, если за минимальный вычет принять единицу, то
в этом случае данную ПСВ будем называть основной.
В качестве модуля ПСВ берем праймориал M=p\#.
Наибольший интерес представляют ПСВ с минимальными по абсолютной величине вычетами.
Если в основных ПСВ симметрия вычетов относительно числа 0,5М, то в ПСВ(-1/2M,+1/2M)
с наименьшими по абсолютной величине вычетами эта симметрия относительно числа 0.
При этом простые числа находятся в интервале:

-0,5M<-p_{r+1}^2<...-p_t...-p_s...-p_{r+1},-1(0)1,p_{r+1}...p_s...p_t...<p^2_{r+1}<0,5M

Здесь левая и правая половины интервала являются зеркальным отражением друг друга.
Очевидно, что разность d=p_t-(-p_s)=p_t+p_s.
Если мы докажем, что вычет или группа вычетов данной ПСВ находятся в этом интервале,
то это однозначно указывает на их простоту.
Но такие ПСВ создают определенные неудобства, т.к. половина вычетов - отрицательные числа.
Чтобы иметь дело с натуральными вычетами и их группами надо увеличить все вычеты этой ПСВ
на величину модуля. Получим ПСВ(1/2M,3/2M) с вычетами от 0,5М до 1,5М
Это дает возможность все расчеты вести в натуральных числах, а затем переходить к ПСВ
с наименьшими по абсолютной величине вычетами.
Для этого достаточно вычесть модуль М
23.08.2019 11:32
ПСВ
ПСВ по модулю M=pr# представляет собой прошедший через решето Эратосфена
праймориал по простым числам от 2 до pr и с увеличением модуля решето
продолжает работать, оставляя в ПСВ простые и взаимно простые вычеты не кратные
простым числам, составляющим модуль.
Изучая распределение вычетов в ПСВ, можно найти определенные закономерности , которые
напрямую ведут к пониманию законов распределения простых чисел.
В отличии от натурального ряда ПСВ ограничивает интервал исследования
величиной данного модуля, причем, не увеличивая самого модуля, можно просто
увеличивать число данных модулей вплоть до следующего модуля.
За основу будем брать ПСВ по модулю $M=7\#=210$.
который представляет собой 7 ПСВ по модулю $m=5\#=30$
за исключением вычетов кратных р = 7 и имеет 48 вычетов
Ранее, в теме была дана формула определения вычетов любой ПСВ,
но она требует больших вычислений.
Гораздо проще применить программу для определения состава любой ПСВ
в виде массива вычетов, что позволяет быстро находить различные связи
между вычетами. Я использую для программирования среду Borland C++.
На языке С++_массив означает последовательность индексированных чисел, т.е.
каждое число имеет свой порядковый номер.
Вот как выглядит программа для ПСВ по модулю М = 13# = 30030.

#include <stdio.h>
#include <conio.h>

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma argsused
int main(int argc, char* argv[])
{
int p[36]={11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,
71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,
151,157,163,167,173}; // массив простых от 11 до 173 (173^2<30030)
int r;
int a[6864]={1,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,
61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,121,127,131,
137,139,143,149,151,157,163,167,169,173,179,181,187,191,
193,197,199,209}; // массив вычетов ПСВ(210);
int i;
for(i=48;i<6864;i++) // 6864 = 48*143 - число вычетов в 143-х ПСВ(210)
a=a[i-48]+210; // создание массива из 11*13 = 143 ПСВ(210)
printf("%i\t",a); getch();
r=0; L1:
for(i=0;i<6864;i++)
if(a%p[r]==0) a=33333; r++; // выделение в массиве вычетов ,кратных 11 и 13.
if(r<2) goto L1;
else
for(i=0;i<6864;i++)
printf("%i\t",a); getch();
int k,buf;
for(k=1;k<6863;k++)
{for(i=0;i<6863;i++)
if(a>a[i+1])
buf=a,a=a[i+1],a[i+1]=buf;} // сортировка вычетов по возрастанию.
printf("\n");
for(i=0;i<5760;i++) // исключение из массива вычетов = 33333.
printf("%i\t",a); getch();
}
//---------------------------------------------------------------------------
Эта же программа создает и массив простых чисел до 30030.
Для этого достаточно в условии if(r<2) поставить r<36.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 23.08.2019 11:35.
25.08.2019 08:36
ПСВ
Поправка.
При определении массива простых кроме условия $if(r < 2)$, необходимо
изменить размер массива с 5760 на 3909
26.08.2019 15:44
Vorvalm прав...
30+/-1=(31,29), 30+/-7=(37,23 = нет близнецов), 30+/-11=(41,19), 30+/-13=(43,17).
Выписываем близнецы и видим, что близнецы зависят от трёх чисел = 1,11,13.
Пары чисел, которые полезно рассматривать выписаны здесь в первой строчке сообщения...
Функция Эйлера - это общее решение, а поиск интервалов простых чисел - это частная задача, что именно и представляет интерес.
26.08.2019 20:40
ПСВ
Цитата
vadimkaz
30+/-1=(31,29), 30+/-7=(37,23 = нет близнецов), 30+/-11=(41,19), 30+/-13=(43,17).
Выписываем близнецы и видим, что близнецы зависят от трёх чисел = 1,11,13.
.
Этот вывод вы сделали на основе $\varphi(30)$ ?
26.08.2019 21:35
Лагранжа
Цитата
vorvalm
Цитата
vadimkaz
30+/-1=(31,29), 30+/-7=(37,23 = нет близнецов), 30+/-11=(41,19), 30+/-13=(43,17).
Выписываем близнецы и видим, что близнецы зависят от трёх чисел = 1,11,13.
.
Этот вывод вы сделали на основе $\varphi(30)$ ?
Когда вместо переменной Вы ставите значение целого положительного числа в функцию Эйлера, то получаете вместо дифура = параметрическое уравнение,
Вывод: берём параметр и подставляем простые числа = получаем ряд простых, но с одной оговоркой = ряд получится с прорехами = будут попадаться некоммутативные составные...
Следовательно надо особое внимание уделить обратной задаче Лагранжа... = выявить зависимость, где составные вышибают из ряда простые?
Вы пока проделали работу на 1/4 часть, а именно ищите решение в теории Лагранжа...
26.08.2019 21:55
между прочим
В моей теме я рассматриваю только функции Эйлера по модулю $M = p#$
26.08.2019 22:25
Где цепочки простых, превышающих 6 чисел?
Цитата
vorvalm
Для определения числа групп (кортежей) больших размеров нам потребуются
другие функции под общим названием "Функции Эйлера высших порядков",
аналогичных функции Эйлера 2-го порядка.
Определение 4. Функции Эйлера n - го порядка $\varphi_n(p)$ по простому модулю р и
$\varphi_n(M)$ по составному модулю М. определяют число определенных групп
вычетов n - го размера в ПСВ по модулю р и по модулю М соответственно
Общая формула этих функций
1) по модулю р: $\varphi_n(p)=p-n$ для n < р, при n ≥ р $\varphi_n(p)=1$ (n - размер группы т.е. число вычетов в группе)
2) по модулю М: $\varphi_n(M)=\prod\varphi_n(p)=\prod(p-n)$, n < p \ M.

Эти функции названы в честь величайшего математика всех времен и народов, автора ПСВ.
При n = 1 это функция Эйлера обыкновенная.
При n = 2 это функция Эйлера 2-го порядка, о которой мы уже все знаем

Знать то знаем, только ни на шаг не продвинулись!

Все эти функции мультипликативные. Это доказано для $\varphi(p)$ ( Бухштаб) и для $\varphi_2(p)$ и
легко доказываются для других функций этого ряда. Предоставляем это участникам форума.

Пример. Число групп D(2, 4, 2) определяется по формуле $\varphi_4(M)=\prod(p-4)$ т.к. в группе 4 вычета
В ПСВ: по модулю М = 30 , $\varphi_4(30)=5-4=1$. Это группа (11, 13, 17, 19)
По модулю м = 210 , $\varphi_4(210)=(5-4)(7-4)=3.$
Это (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199)
26.08.2019 23:04
Пожалуйста = цепочки = с формулой
Формула (30k-18)+/-1, где k=1,2,3,4
Получаем цепочку (11,13,41,43,71,73,101,103) - 8 простых чисел (к тому же близнецов) по модулю 30...
26.08.2019 23:28
наращиваем формулу
Согласен,что 4 закрывает квадраты, но согласитесь, что этого мало...
(30k-6q)+/-1,где k=натуральное число, а q=3k, где k=натуральное число = получаем цепочки...
27.08.2019 11:28
между прочим
В моей теме вопрос о цепочках близнецов не рассматривался.,
Цитата из моей темы о функциях Эйлера высших порядков никакого отношения
к поиску цепочек простых чисел и близнецов не имеет.
В этом разделе темы рассматриваются вопросы существования и определения числа кортежей в ПСВ,
состоящих из простых чисел с различным числом вычетов. с помощью функций Эйлера высших порядков,
но никак не поиск конкретных кортежей., хотя и даются примеры некоторых кортежей.
10.09.2019 19:59
ПСВ
В ПСВ по модулю M=pr# при последовательном расположении вычетов, начиная с 1,
есть интервал простых чисел от p_(r+1) до p_n<p^2_(r+1).
И первое, что приходит в голову, использовать функцию Эйлера для определения
числа простых чисел на этом интервале, применив обыкновенную пропорцию.
Обозначим число простых вычетов не превосходящих x на этом интервале p(x) т.е. p_r<x<p^2_(r+1), тогда

π(x)=p(x)+r , где r - число простых чисел в модуле M=pr#.

Указанный интервал с увеличением модуля ПСВ увеличивается по размеру как φ(p)⋅p,
но доля его в ПСВ уменьшается и пока x находится в пределах интервала данной ПСВ
средняя плотность вычетов ПСВ α остается постоянной, но необходимо учитывать то, что
с увеличением модуля $х$ может находится в разных интервалах простых чисел, где средняя плотность
разная. Поэтому практически при данном $х$ надо брать минимальный модуль, где x<p^2_(r+1)


α=φ(M)|M=∏(1−1|p)∼A|lnx , (M=p_r#)


Т.е. по теореме Мертенса средняя плотность вычетов ПСВ = α

асимптотически рaвна средней плотности простых чисел этого интервала.

p(x)+1=α⋅x отсюда π(x)=α⋅x+r−1

Данные формулы дают минимальные отклонения от истинных значений p(x)∧π(x)
при x = p^2_(r+1) - 1



Редактировалось 2 раз(а). Последний 10.09.2019 21:05.
20.09.2019 10:47
ПСВ
В монографии К.Прахара "Распределение простых чисел" в разделе
"Элементарные результаты" приводится доказательство
формулы В.Бруна по оценке числа близнецов не превосходящих $x.$

$\pi_2(x)\leqslant C/\ln^2 x$ и там же $\prod(1-2/p)<c/\ln^2 x,;\;\;2<p<x$

Нетрудно заметить, сопоставляя формулы Мертенса и Бруна, что
средняя асимптотическая плотность простых чисел и простых близнецов
отличаются степенью знаменателя. Т.е. по Прахару (Бруно)

$\prod(p-2)/p<c/\ln^2 x$ и по Мертенсу $\prod(p-1)/p\sim A/\ln x$

У Мертенса в числителе функция Эйлера $\varphi(M)=\prod(p-1)$, но
у Прахара в числителе функция $\prod(p-2).$ Что она означает?
Если функция Эйлера дает число вычетов ПСВ по модулю $M=p\#$, то
функция $\prod(p-2)$ тоже что-то дает. Но что?
Оказывается,что эта функция дает число вычетов-близнецов в ПСВ и не только.
Совершенно естественно было назвать эту функцию функцией Эйлера
второго порядка и обозначить

$\varphi_2(M)=\prod(p-2),\;\;p>2$ (для ПСВ по модулю $M=p\#$)

Кроме числа вычетов-близнецов, эта функция может давать число пар вычетов
с любой четной разностью между ними, но с коэффициентом $A_2,$ который
учитывает делители разности этих вычетов



Редактировалось 2 раз(а). Последний 20.09.2019 10:54.
21.09.2019 16:44
простые числа
А разве теория чисел не знала что
:;может давать число пар вычетов
с любой четной разностью между ними::?

Значит константы показаные мной 3.3 и т.д между пар вычетов важный для теории чисел.

Кстати константа 3.3 и есть прямое доказательство и полное осмысление дзеты Риммана, что
более интереснно через некое значение Функции Эйлера визуализацию функций дзеты можем наблюдать .



Редактировалось 1 раз(а). Последний 21.09.2019 16:56.
21.09.2019 18:15
ПСВ
Загляни в личные сообщения
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти