Бесконечность чисел Жермен можно доказать с помощью ПСВ по модулю
$M= p_r#$Для этого будем рассматривать числа Жермен в виде разностей вычетов ПСВ
Исхода из представления чисел Жермен
$p_t = 2p_s + 1$ получим
$d = p_t - p_s = p_s +1$ где
$p_t$ и
$p_s$ простые числа из интервала простых чисел ПСВ по модулю М
На числовой оси эти разности можно представить
$- 1 (0)...... p_s............p_t$Теперь сделаем зеркальное отражение этих разностей
$-p_t.........-p_s..........-1 (0) +1.........p_s...........p_t$Мы получили группу вычетов (кортеж), расположенной в ценре ПСВ с минимальными.
по абсолютной величине вычетами.
Первая форма записи групп с разностями между соседними выетами
Это группа
$F(p_t-p_s; ,p_s -1; , 2, ,p_s - 1; ,p_t-p_s)$Определяем вторую форму записи, т.е. приведенную группу
$F[6] = (0,.p_t - p_s;, p_t - 1;, p_t+1;,p_t+p_s ,.2p_t)$Для доказательства бесконечности таких групп (кортежей) в ПСВ(М) группу F[6] необходимо
проверить на проходимость по модулям 3 и 5.
Находим модули возможных сравнений вычетов группы F[6]
В первой колонке расположены вычеты группы сравнимые с 0.
В последующих колонках располагаем вычеты группы, которые сравниваются с вычетами первой колонки
$2p_t..................p_t + p_s..............p_t + 1...........p_t - 1..............p_t - p_s$$p_t-p_s................ p_t +p_s..............p_t + 1.......... p_t - 1$$p_t+1.............. ..p_t+p_s ...............p_t + 1$$p_t - 1................p_t+p_s.$$p_t - p_s$Для примера найдем модуль сравнени выетов
$2p_ t$ и
$p_t - p_s$$2p_t - (p_t - p_s) = p_t+p_s$Вычисление всех модулей сравнения вычетов группы F[6] приводить не будем, но дадим только
окончательный результат в виде дроби. В числителе модуль сравненя, в знаменателе их число.
$(p_t-p_s)/2;...(p_t+p_s)/2;....(p_t-1)/2;....(p_t+1)/2;....(p_s-1)/2;....(p_s+1)/2$Итого, 6 (всего 12) парных модулей сравнения вычетов группы F[6] и 3 непарных модуля
$2p_t;..2p_s;,,2$Числа Жермен возможны только при
$p_s=6k-1$ и
$p_t=12k -1$,
Проходимость по модулю р = 3, .
$.K(3) = 3 + m(3) - 6.$Числа Жермен из класса 6к - 1, следовательно модули сравнения равны
$(p_t-p_s) =6k;,,(p_t +1)=6k,..(p_s+1)= 6k$т.к. модули парные, то
$m(3) = 6 ,.. K(3)=3+6-6=3$Проходимость по модулю р = 5, K(5)= 5 +m(5)-6.
Последняя цифра простых чисел может быть 1, 3. 7. 9. т.е. простые числа можно представить
$p = 10n\pm 1$ или
$p+ 10n\pm 3$, поэтому модули сравнеий вычетов группы при любом
$p_t$ и
$p_s$будут кратны p = 5, и в любом случае
$m(5) > 2$ и
$K(5)=5+m(5)-6>1$Непарные модули
$2p_t,.2p_s$ не входят в состав модуля M и
$K(p)=1$, по модулю 2 всегда
$K(2) = 1$Таким образом группы F[6] существуют в ПСВ по любому модулю М
Теперь осталось доказать, что одна группа F[6] находится среди простых чисел ПСВ
Число таких групп в ПСВ равно
$A_6\varphi_6(M)$, коэффициент
$A_6=\prod K(p)/\varphi_6(p)$Функции
$\varphi_6(M),.\varphi_6(p)$ нечетные
Проходимость
$K(p)$ при четных
$m(p)$ и
$n$ нечетнавя.
В наше случае
$m(3),.m(5), n$ четные, т.е.число групп F[6] нечетное и одна группа
находится в ценре ПСВ среди простых чисел.
В выборе модуля ПСВ мы не оганичены и в любой ПСВ есть числа Жермен среди простых чисел
Редактировалось 3 раз(а). Последний 16.12.2018 07:39.
