Проблемы аддитивной теории простых чисел

Автор темы vorvalm 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
ОбъявлениеСтуденты и преподаватели мехмата МГУ могут бесплатно получать лицензию на Wolfram Mathematica25.11.2020 00:55
24.10.2020 13:59
Функции Эйлера высших порядков
Возникает вопрос. Что делать, если в группе будут не взаимно простые вычеты ?

Необходима коррекция функции φ_n(p) с помощью функции m(p), которая определяет

число сравнимых вычетов группы по модулю р. Так как функция φ_n(p) эти вычеты группы

не учитывает, то их надо просто прибавить к φ_n(p) и тогда число групп бедет равно

φ_n(p) + m(p)

Это уже не функция Эйлера. Заочно назовем ее "проходимость" по модулю р и обозначим

K(p) = φ_n(p) + m(p)

Хотя она и определяет число групп в ПСВ, но привязана к одной группе функцией m(p).

Чтобы иметь общую формулу для любых групп необходим коэффициент к функции φ_n(p).

A_n φ_n(p) = K(p)

Коэффициент "проходимости" A_n по модулю р равен

A_n = K(p) /φ_n(p) = 1 + m(p)/φ_n(p), при m(p) = 0, A_n = 1.

Этот коэффициент показывает, насколько истинное число групп отличается от функции φ_n(p).

Такое представление коэффициента по модулю р кажется нелогичным, но при переходе

к составным модулям это будет просто необходимо.
30.11.2020 13:13
Функции Эйлера высших порядков
Функция Эйлера n го порядка по составному модулю M = p# равна

φ_n(M) = П φ_n(p) = П(р - n) р/M

Прежде чем определять число групп вычетов n - го порядка (n - число вычетов в группе) в ПСВ

по модулю M = p# надо определить, существует ли данная группа в ПСВ.

Для этого у нас есть функция " проходимость" K(p) = φ_n(p) + m(p) = p + m(p) - n.

По каким р надо проверять проходимость группы ? Приняв m(p) = 0 при р > n K(p) > o.

В этом случае по модулю р проходимость проверять не надо.

Если p < n, то проверка обязательна, но по модулю р = 2 проверять не надо, т.к. вычеты группы

четные числа, число их равно n - 1 и все они сравнимы с первым вычетом равным 0.

т.е. m(2) = n - 1 и K(2) = 2 + n - 1 - n = 1.



Определение числа групп n - го порядка в ПСВ(М).

Для этого необходимо определить коэффициент A_n к функции φ_n(M) . Он равен

A_n = П k(p)/φ_n(p)

Здесь проходимость К(р) определяется по всем р, по которым возможны сравнения вычетов группы

между собой , но только по тем, которые есть в модуле М. Коэффициент A_n показывает насколько

отличается фактическое число групп от функции Эйлера.

φ_n(p) - определяется по тем же р, что и К(р).

Число групп n - го порядка определяется по формуле

N(Q[n]) = A_n φ_n(M)



Примеры. Берем группу 4 - го порядка с разностями между вычетами (4, 2, 4).

Приведенная группа D[4] = (0, 4, 6, 10)

Проходимость по модулю р = 3. Имеем два сравнимых вычета 0 - 6 и 4 - 10.

m(3) = 2, K(3) = 3 + 2 - 4 = 1.

Этого достаточно, чтобы утверждать, что данная группа существует в любой ПСВ(М),

т.к. р = 5 > n и K(5) > 0.

Но для определения числа групп в ПСВ надо определить коэффициент А_n

Проходимость по модулю р = 5. Имеем один сравнимый вычет 0 - 10.

m(5) = 1, K(5) = 5 + 1 - 4 = 2.

φ_4(3) = 1, φ_4(5) = 1, A_4 = K(3)K(5) = 2.

N(D{4]) = 2 φ_4(M)



В ПСВ(30), φ_4(30) = 1, N(D{4]) = 2, это (7, 11, 13, 17) и (13, 17, 19, 23).

В ПСВ(210), φ_4(210) = 3, N(D{4]) = 6, это (13, 17, 19, 23),(37, 41, 43, 47)

(97, 101, 103, 107),(103, 107, 109, 113),(163, 167, 169, 173),(187, 191, 193, 197).
01.12.2020 11:04
vorvalm
Причем φ(30) и φ(4)? φ(4) абсолютно другой вектор расширения ,но конечно принадлежит общей конструкции всех φ(n).

Абсолютное непонимание конструкции φ(n).



Редактировалось 1 раз(а). Последний 01.12.2020 11:08.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти