Геометрический смысл свёртки и работа с ней

Автор темы kavasaky 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий и рекламы в форуме26.03.2008 03:07
ОбъявлениеРекомендации по использованию теха в нашем форуме15.04.2017 21:40
ОбъявлениеВычисление параметров смешанной модели15.11.2017 16:57
15.12.2018 13:28
Геометрический смысл свёртки и работа с ней
Интуитивно я понимаю свёртку двух функций, как зависимость площади под графиком их произведения от величины "относительного сдвига" функций (интуитивное представление не нуждается в чётких формулировках!).

Соответственно, если есть две функции - $ f(x), x \in [-\infty;+\infty] $ и $ g(x), x \in [-\infty;+\infty] $, то их свёртка это $ S(x) = (f*g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(y)g(x-y)dy, x \in [-\infty;+\infty] $.
Это мне, вроде, понятно. Мне не очень понятен случай, если у функций ограниченные области определения.

Конкретнее - есть две функции: $ f(x), x \in [0;x_0] $ и $ g(x) = 1/\sqrt{x}, x \in [0;+\infty] $. Если опираться на интуитивное геометрическое представление о площади, которое я привёл выше, то получим для свёртки: $ S(x) = (f*g)(x) = \int_{x}^{x_0} f(y)/\sqrt{y-x}dy, x \in [-\infty;x_0] $. А проблема моя заключается в следующем.

У меня есть описанный интеграл $ I(x) = \int_{x}^{x_0} f(y)/\sqrt{y-x}dy $, в котором $ f(x), x \in [0;x_0] $. Из физических соображений (фигурирующие переменные отражают значения квадратов некоторых размеров) подкоренное выражение в интеграле неотрицательно и $ x \in [0;x_0] $. Отличие моего интеграла от приведённой выше свёртки только в области определения.
Если меня интересует только область $ x \in [0;x_0] $, то можно ли такой интеграл считать полноценной свёрткой и пользоваться всеми фишками преобразования Фурье в духе $ F\left[ I(x) \right](\xi) = \sqrt{2\pi}F\left[ f(x) \right](\xi)F\left[ 1/\sqrt{x} \right](\xi) $ или нужно всё же честно использовать функцию Хевисайда $ I(x) = \theta(x)S(x) $ с вытекающим преобразованием Фурье от произведения $ F\left[ I(x) \right](\xi) = \left(F\left[ \theta(x)\right]*F\left[ S(x) \right]\right)(\xi) = \left(\left[ \frac{1}{2\pii\xi}+\frac{1}{2}\delta\right]*\left[F\left[ f(x) \right](\xi)F\left[ 1/\sqrt{x} \right](\xi) \right]\right)(\xi) = \left(\left[\frac{1}{2\pii\xi}\right]*\left[F\left[ f(x) \right](\xi)/\sqrt{\xi} \right]\right)(\xi) + \frac{1}{2}F\left[ f(x) \right](\xi)/\sqrt{\xi}$?



Редактировалось 1 раз(а). Последний 15.12.2018 13:38.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти