Основы ловли простых чисел
Из трех шагов метода Чжана первым улучшен был последний, в котором он нашел допустимый гребень с по крайней мере 3500000 зубьями. Чжан показал, что гребень с 70 миллионами зубьев подойдет, но он особенно не пытался сделать гребень как можно меньше. Было много возможностей для совершенствования, и исследователи, сильные в вычислительной математике, вскоре начали дружественную гонку, чтобы найти маленькие допустимые гребни с заданным числом зубьев.
Эндрю Сазерленд из Массачусетского технологического института быстро стал своего рода де-факто допустимо-гребенчатым царем. Сазерленд, специалист по вычислительной теории чисел, путешествовал во время объявления результата Чжана и не уделил ему особого внимания. Но когда он зарегистрировался в отеле в Чикаго и сказал администратору, что приехал на математическую конференцию, тот ответил: “Ничего себе, 70000000, да?’’
“Я был поражен , что он знает об этом’’, — сказал Сазерленд. Вскоре он обнаружил, что существует много возможностей для человека с его вычислительными навыками помочь улучшить оценку Чжана . “У меня было много планов на лето, но все они отошли на второй план’’.
Для математиков, работающих на этом этапе, земля качалась под ногами. Их задача менялась каждый раз, когда математики, работающие на двух других шагах, сокращали количество зубьев гребня. “Правила игры менялись каждый день’’, — сказал Сазерленд . “В то время как я спал, люди в Европе получали новые границы. Иногда я бежал вниз в 2 часа ночи с новой идеей.’’
Команда в конце концов придумала рекорд проекта — гребень с 632 зубьями исходной ширины 4680. Сделано это было с помощью генетического алгоритма, который связывал допустимые гребни друг с другом, чтобы создать новые, потенциально лучшие гребни.
Находка Мэйнарда — гребень со 105 зубьями шириной 600 — показывает, что эти гигантские расчеты устарели. Но усилия команды не были потрачены впустую. “Нахождение небольших допустимых гребней требуется во многих задачах теории чисел’’, — сказал Сазерленд. В частности, вычислительные средства команды скорее всего, будут полезны, когда дело дойдет до улучшения результатов Мэйнарда о тройках, четверках и бóльших наборах простых чисел, как считает Мейнард.
В Polymath исследователи второго этапа доказательства Чжана искали места расположения гребня на числовой прямой, которые имеют наибольшую вероятность поймать пары простых чисел. Делалось это, чтобы найти необходимое количество зубьев. Простые числа становятся очень редкими при движении по числовой прямой, так что если просто случайно куда-то поставить гребень, вероятно, он не поймает простого числа, не говоря уже о двух. Поиск богатейших рыбных угодий для простых чисел закончился сведением этой задачи к задаче вариационного исчисления — обобщения математического анализа.
На этом этапе, возможно, были сделаны наименее новые разработки в проекте, и те, которые были непосредственно перекрыты работой Мэйнарда. В то время, однако, прогресс на данном этапе был одним из самых плодотворных. Когда команда 5 июня заполнила этот кусок головоломки, границу понизилась с примерно 4,6 млн. до 389 922.
Исследователи, работавшие на первом этапе доказательства Чжана, занимавшиеся распределением простых чисел, делали, пожалуй, самую трудную работу. Математикам некоторые законы распределения простых чисел известны уже более века. Один из таких законов гласит, что если разделить все простые числа на три, половина из них даст остаток один, а остальные — остаток два. Этот закон дает именно то, что необходимо выяснить, даст ли допустимый гребень, скорее всего, найти пары простых чисел, или он пропустит их, так как он предполагает, что “[простые числа] рыбы не могут все спрятаться за одну и ту же скалу, но распространились повсеместно’’, — сказал Сазерленд. Но чтобы использовать такие законы распределения в доказательстве, Чжану и позже в проекте Polymath пришлось воспользоваться некоторыми из самых глубоких математических сведений: набором теорем 1970-х годов Пьера Делиня, сегодня почетного профессора Института перспективных исследований, связанных с некоторыми ошибками, компенсирущими друг друга в суммах большого числа слагаемых. Моррисон сказал о работе Делиня как о “большом и страшном куске математики 20-го века.’’
