Цитата
vorvalm
Ты не прикидывайся опять первоклассником.
Никакие это не палиндромы. Таких палиндромов пруд пруди. На каждом шагу.
Настоящий палиндром состоит из последовательных простых чисел
А у тебя пародия на палиндромы
Симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества X {\displaystyle X} X (то есть биекций X → X {\displaystyle X\to X} X\to X) относительно операции композиции.
Симметрическая группа множества X {\displaystyle X} X обычно обозначается S ( X ) {\displaystyle S(X)} S(X), если X = { 1 , 2 , . . . , n } {\displaystyle X=\{1,2,...,n\}} X=\{1,2,...,n\}, то S ( X ) {\displaystyle S(X)} S(X) также обозначается через S n {\displaystyle S_{n}} S_{n}. Поскольку для равномощных множеств ( | X | = | Y | {\displaystyle |X|=|Y|} |X|=|Y|) изоморфны и их группы перестановок ( S ( X ) ≅ S ( Y ) {\displaystyle S(X)\cong S(Y)} {\displaystyle S(X)\cong S(Y)}), потому для конечной группы порядка n {\displaystyle n} n группу её перестановок отождествляют с S n {\displaystyle S_{n}} S_{n}.
Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка i d ( x ) = x {\displaystyle \mathrm {id} (x)=x} {\displaystyle \mathrm {id} (x)=x}.
Подгруппа симметрической группы S ( X ) {\displaystyle S(X)} S(X) называется группой перестановок (подстановок) X {\displaystyle X} X[1].
Каждая конечная группа G {\displaystyle G} G изоморфна некоторой подгруппе группы S ( G ) {\displaystyle S(G)} S(G) (теорема Кэли).
Число элементов симметрической группы для конечного множества равно числу перестановок элементов, то есть факториалу мощности: | S n | = n ! {\displaystyle |S_{n}|=n!} {\displaystyle |S_{n}|=n!}. При n ⩾ 3 {\displaystyle n\geqslant 3} n\geqslant 3 симметрическая группа S n {\displaystyle S_{n}} S_{n} некоммутативна.
Симметрическая группа S n {\displaystyle S_{n}} S_{n} допускает следующее задание:
⟨ σ 1 , σ 2 , … , σ n − 1 | σ i 2 , ( σ i σ i + 1 ) 3 , σ i σ j = σ j σ i if | i − j | > 1 ⟩ {\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ |i-j|>1\rangle } {\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ |i-j|>1\rangle }.
Можно считать, что σ i {\displaystyle \sigma _{i}} \sigma_i переставляет i {\displaystyle i} i и i + 1 {\displaystyle i+1} i+1. Максимальный порядок элементов группы S n {\displaystyle S_{n}} S_{n} — функция Ландау.
Группы S 1 , S 2 , S 3 , S 4 {\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}} {\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}} разрешимы, при n ⩾ 5 {\displaystyle n\geqslant 5} n\geqslant 5 симметрическая группа S n {\displaystyle S_{n}} S_{n} является неразрешимой.
Симметрическая группа является совершенной (то отображение сопряжения является изоморфизмом) тогда и только тогда, когда её порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера). В случае n = 6 {\displaystyle n=6} n=6 группа S 6 {\displaystyle S_{6}} S_6 имеет ещё один внешний автоморфизм[en]. В силу этого и предыдущего свойства при n ⩾ 3 , n ≠ 6 {\displaystyle n\geqslant 3,n\neq 6} {\displaystyle n\geqslant 3,n\neq 6} все автоморфизмы S n {\displaystyle S_{n}} S_{n} являются внутренними, то есть каждый автоморфизм α ( x ) {\displaystyle \alpha (x)} \alpha(x) имеет вид g − 1 x g {\displaystyle g^{-1}xg} g^{-1}xg для некоторого g ∈ S n {\displaystyle g\in S_{n}} g\in S_n.
Число классов сопряжённых элементов симметрической группы S n {\displaystyle S_{n}} S_{n} равно числу разбиений числа n {\displaystyle n} n[2]. Множество транспозиций ( 12 ) , ( 23 ) , . . . , ( n − 1 n ) {\displaystyle (12),(23),...,(n-1\ n)} (12),(23),...,(n-1 \ n) является порождающим множеством S n {\displaystyle S_{n}} S_{n}. С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками ( 12 ) , ( 12... n ) {\displaystyle (12),(12...n)} (12),(12...n), так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.
Центр симметрической группы тривиален при n ⩾ 3 {\displaystyle n\geqslant 3} n\geqslant 3. Коммутантом S n {\displaystyle S_{n}} S_{n} является знакопеременная группа A n {\displaystyle A_{n}} A_{n}; причём при n ≠ 4 {\displaystyle n\neq 4} n\neq 4 A n {\displaystyle A_{n}} A_{n} — единственная нетривиальная нормальная подгруппа S n {\displaystyle S_{n}} S_{n}, а S 4 {\displaystyle S_{4}} S_4 имеет ещё одну нормальную подгруппу — четверную группу Клейна.
Представления
Любая подгруппа G {\displaystyle G} G группы перестановок S n {\displaystyle S_{n}} S_{n} представима группой матриц из S L ( n , Z ) {\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )} {\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}, при этом каждой перестановке π : i → π ( i ) {\displaystyle \pi :i\to \pi (i)} \pi: i\to\pi (i) соответствует перестановчных матриц (матрица, у которой все элементы в ячейках ( i , π ( i ) ) {\displaystyle (i,\pi (i))} (i,\pi(i)) равны 1, а прочие элементы равны нулю); например, перестановка ( 231 ) {\displaystyle (231)} {\displaystyle (231)} представляется следующей матрицей 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} 3\times 3:
( 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Подгруппа такой группы, составленная из матриц с определителем, равным 1, изоморфна знакопеременной группе A n {\displaystyle A_{n}} A_{n}.
Существуют и другие представления симметрических групп, например, группа симметрии (состоящая из вращений и отражений) додекаэдра изоморфна S 5 {\displaystyle S_{5}} S_5, а группа вращений куба изоморфна S 4 {\displaystyle S_{4}} S_4.
группа вращений куба изоморфна S 4
Группа вращения (группа поворотов) в механике и геометрии — набор всех вращений вокруг начала координат в трёхмерном евклидовом пространстве R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} \mathbb {R} ^{3}. По определению, вращение вокруг начала координат — линейное преобразование, которое сохраняет длину векторов, а также сохраняет ориентацию (правую и левую тройку векторов). Группа вращений изоморфна группе вещественных ортогональных матриц 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} 3\times 3 с определителем 1 (называемой специальной ортогональной группой размерности 3 — S O ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (3)} {\mathrm {SO}}(3)).
Иногда группами вращений называют все специальные ортогональные группы S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} {\mathrm {SO}}(n) (в обобщении до пространств R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} \mathbb {R} ^{n}).
Свойства
Группа вращений некоммутативна.
Группа вращений является группой Ли.
Группа S O ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (3)} {\mathrm {SO}}(3) диффеоморфна проективному пространству размерности 3. По теореме вращения Эйлера, любое вращение можно задать прямой (осью вращения, заданной единичным вектором v {\displaystyle v} v), проходящей через центр координат, и углом φ ∈ [ − π , π ] {\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi ]} \varphi \in [-\pi,\pi]. Можно было бы сопоставить каждому вращению вектор φ v {\displaystyle \varphi v} \varphi v и тем самым отождествить элементы группы вращения с точками шара радиуса π {\displaystyle \pi } \pi . Однако, такое сопоставление не было бы биективным, так как углам π {\displaystyle \pi } \pi и − π {\displaystyle -\pi } -\pi соответствует одно и то же вращение. Поэтому, отождествив диаметрально противоположные точки на границе шара, получим проективное пространство.
Универсальная накрывающая группы S O ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (3)} {\mathrm {SO}}(3) является специальной унитарной группой S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2)} {\mathrm {SU}}(2), или, что то же самое, группой единичных по модулю кватернионов (действующих на касательном пространстве к единичной сфере сопряжениями). При этом накрытие двулистно.
Группа симметрии отрезка в одномерном пространстве содержит два элемента: тождественное преобразование и отражение относительно середины отрезка. Но в двумерном евклидовом пространстве существует уже 4 движения, переводящих заданный отрезок в себя. В трехмерном пространстве отрезок обладает бесконечным множеством симметрий (элементами группы симметрии будут, в частности, повороты на произвольный угол вокруг прямой, содержащей этот отрезок).
Группа симметрии равностороннего треугольника на плоскости состоит из тождественного преобразования, поворотов на углы 120° и 240° вокруг центра треугольника и отражений относительно его высот. В этом случае группа симметрии состоит из 6 преобразований, которые осуществляют все возможные перестановки вершин треугольника. Следовательно, эта группа изоморфна симметрической группе S3. Однако группа симметрии квадрата имеет порядок 8, а симметрическая группа S4 изоморфна группе симметрии правильного тетраэдра.
Группа симметрии разностороннего треугольника тривиальна, то есть состоит из одного элемента ― тождественного преобразования.
Если считать, что человеческое тело зеркально симметрично, то его группа симметрии состоит двух элементов: тождественного преобразования и отражения относительно плоскости, которая делит тело на симметричные друг другу правую и левую части.
Произвольное периодическое замощение плоскости (или орнамент [1]) имеет группу симметрии, элементы которой всеми возможными способами совмещают некий фиксированный элемент замощения с каждым конгруэнтным ему элементом.
Редактировалось 3 раз(а). Последний 07.02.2019 17:29.
