Вопрос логикам: наивное понятие множества...

Автор темы Андрей 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеАктуарий в PPF Life Insurance (Junior)25.03.2021 21:35
03.03.2004 14:22
Андрей
Вопрос логикам: наивное понятие множества...
Существует такой математический объект как наивное понятие множества. Совокупность формул, описывающих его свойства, является противоречивой, но это не мешает данному объекту существовать (и изучаться в школах и в вузах). Почему это возможно? (ведь как известно, математический объект существует тогда и только тогда, когда совокупность формул, описывающих его свойства, является непротиворечивой)
03.03.2004 15:33
Покажите, плохо вижу
Цитата

Андрей писал(а) :
Существует такой математический объект как наивное понятие множества. Совокупность формул, описывающих его свойства, является противоречивой, но это не мешает данному объекту существовать (и изучаться в школах и в вузах). Почему это возможно? (ведь как известно, математический объект существует тогда и только тогда, когда совокупность формул, описывающих его свойства, является непротиворечивой)

Такой объект СУЩЕСТВУЕТ?!!! Где, чёрт возьми?!!!!!!!!!!

В том-то и дело, что в природе бесконечных множеств НЕТ (и это был вынужден признать даже Гильберт)! В школах и вузах "наивные множества" изучают по той же причине, по какой в средневековых трактатах по зоологии расписывались свойства русалок и василисков, а в учебниках химии и физики двухсотлетней давности фигурировали флогистон и теплород - по причине низкого уровня развития науки (а то и просто по безграмотности преподавателей).

"ТЕОРИЯ" МНОЖЕСТВ - ЭТО МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФЛОГИСТИКА. Изгнание лженаучного понятия множества - одна из главных задач современной математики. Dixi.

С уважением,
Гастрит

P.S.: Ваше представление, будто "математический объект существует тогда и только тогда, когда совокупность формул, описывающих его свойства, является непротиворечивой", конечно, "известно". Но _разделять_ это представление могут только очень отсталые люди. Извините за прямоту - я не имею в виду ничего личного. Термин "существование" является общенаучным; его содержание в математике совершенно такое же, как в физике, химии и т.д. Когда мы говорим "существует вещество, вступающее в такие-то и такие-то химические реакции", мы имеем в виду нашу способность предъявить такое вещество, а не просто логически доказать непротиворечивость предположения о существовании этого вещества.

P.P.S.: Аксиоматику "теории летающего Андрея" напомнить? :)

03.03.2004 15:51
Андрей
должен вас огорчить
Бесконечные множества существуют - и счётные, и континуальные, и гейтингозначные, и эволюционирующие во времени, и т.д. Если вы их "не видите", то это ваши проблемы. Я сожалею что у вас такое плохое зрение.
03.03.2004 16:10
Я в трауре :)
Цитата

Андрей писал(а) :
Бесконечные множества существуют - и счётные, и континуальные, и гейтингозначные, и эволюционирующие во времени, и т.д. Если вы их "не видите", то это ваши проблемы. Я сожалею что у вас такое плохое зрение.

Что ж, завидую Вашему: "Мне бы такое зрение. Увидеть Никого, да ещё на таком расстоянии!" :)

С уважением,
Гастрит

P.S.: Кстати, а примерчик хоть одного бесконечного множества можно получить?

03.03.2004 22:16
Игорь Абрамов
:P
Цитата


P.S.: Кстати, а примерчик хоть одного бесконечного множества можно получить?


Натуральные числа.
Точки на окружности.
04.03.2004 11:02
egor
армия - это не только пехота
Большое спасибо Гастриту за ссылку упомянутую ранее статью
Н. А. Шанин "Эскиз финитарного варианта математического анализа".
Испытывая огромаднейшее уважение к конструктивной математике
и желание с ней познакомиться, всё же приведу несколько замечаний,
естественных с точки зрения человека, "испорченного" изучением абстрактной математики.

1. Есть разные варианты конструктивной математики
(можно сказать, разные степени "строгости" ).
Какой из этих вариантов считать _настоящей_ математикой?

2. Не так-то просто изложить на конструктивном языке
хотя бы самые начала анализа.
По крайней мере, Шанин сначала называет различные объекты (пространства функций и т. п.) на языке теории множеств,
а затем обсуждает возможность их построения.

3. Аксиоматический подход, по мнению большинства математиков,
оказался очень плодотворным в алгебре и функциональном анализе.

4. Если в "абстрактной" (неконструктивной) математике
удалось доказать, что какой-то объект не существует
(например, что две какие прямые не пересекаются),
то он не будет существовать и в конструктивной математике
(если об этом объекте вообще можно будет говорить в конструктивной
математике).

Если же удалось некоструктивно доказать,
что какой-то объект существует,
то это хороший повод попытаться его построить.

Таким образом, абстрактную математику можно сравнить
с разведкой и стратегическими силами, а конкретную - с пехотой.

5. Множество натуральных чисел - удобная абстракция,
и в _каком-то смысле_ этот объект существует.
Например, как слово, состоящее из аксиом Пеано.

6. Если совсем отрицать абстракции и
говорить чисто реально и конкретно,
то _в каком-то смысле_ не существует даже числа 2:
в природе нет двух одинаковых объектов.

Кому-то кажется естественным остановиться на одном уровне абстракции, кому-то - на другом.
04.03.2004 13:49
Я так и знал!
Цитата

Игорь Абрамов писал(а) :
Цитата


P.S.: Кстати, а примерчик хоть одного бесконечного множества можно получить?


Натуральные числа.
Точки на окружности.

Вот Вы и попались, многоуважаемый Игорь Абрамов!

"Натуральные числа" - множество из 17 букв (включая пробел).

"Точки на окружности" - множество из 19 букв (включая два пробела).

Таким образом, оба приведённые Вами множества КОНЕЧНЫ!

Что Вы говорите? Вы не это имели в виду? Вы хотели привести в качестве примера бесконечные множества, которые на математическом жаргоне _называются_ "натуральным рядом" и "множеством точек на окружности"? Простите, но _в действительности_ привели-то Вы именно слова, а не обозначаемые этими словами "объекты" (что и неудивительно - "объектов"-то нет)! Так что потрудитесь, сложите где-нибудь кучку из _всех_ натуральных чисел, а рядом с ней - кучку из _всех_ точек окружности: вот тогда нам будет о чём поговорить. Пока же Ваши примеры - пустопорожняя болтовня (простите за резкость).


С уважением,
Гастрит

04.03.2004 14:30
Андрей
конечное и бесконечное
Г-н Гастрит, я полагаю что Ваше существование у вас сомнений не вызывает. Но согласно Вашему подходу, для доказательства существования объекта нужно предъявить все его элементарные составные части. Сможете ли Вы описать все элементарные составные части, из которых Вы состоите? И видел ли их кто-нибудь? И уверены ли Вы, что их число является конечным?

Что касается конечности и бесконечности, то согласно определению множесто конечно если оно не равномощно никакому собственному подмножеству. Согласно этому определению, множество натуральных чисел бесконечно, и оно не тождественно конечному набору слов, который его описывает.
04.03.2004 14:53
Но уж ни в коем случае не генералитет
Цитата

egor писал(а) :
Большое спасибо Гастриту за ссылку упомянутую ранее статью
Н. А. Шанин "Эскиз финитарного варианта математического анализа".
Испытывая огромаднейшее уважение к конструктивной математике
и желание с ней познакомиться, всё же приведу несколько замечаний,
естественных с точки зрения человека, "испорченного" изучением абстрактной математики.

1. Есть разные варианты конструктивной математики
(можно сказать, разные степени "строгости" ).
Какой из этих вариантов считать _настоящей_ математикой?

Абсолютно верно - есть. Да, разногласия имеются не только между конструктивистами и канторовцами, но и внутри конструктивного направления. Однако это - издержки роста (конструктивному направлению как чётко сформулированной доктрине всего-то около 60 лет...).

Цитата

2. Не так-то просто изложить на конструктивном языке
хотя бы самые начала анализа.
По крайней мере, Шанин сначала называет различные объекты (пространства функций и т. п.) на языке теории множеств,
а затем обсуждает возможность их построения.

Шанин делает не совсем это. Он берёт "как есть" некоторую концепцию, сложившуюся в теоретико-множественной математике, а потом выясняет _действительный_, то есть конструктивный, смысл этой концепции. То есть происходит примерно следующий монолог: "Вот там канторовцы говорят, что пространство \(W_2^1[0,1]\) есть множество измеримых функций на отрезке [0,1], для которых почти всюду определена производная, которая, в свою очередь, квадратично суммируема на отрезке [0,1]. При этом под измеримой функцией они понимают множество пар, такое, что [далее следует теоретико-множественное "определение" функции], причём прообраз [следует определение] любого интервала есть множество, измеримое по Лебегу [снова следует определение]. Только всё это чушь собачья - добавляет Шанин уже от себя, - на самом деле всё гораздо проще. Чтобы получить пространство \(W_2^1[0,1]\), мы просто вводим определённое расстояние между многочленами (то есть кортежами рациональных чисел), после чего начинаем изучать свойства многочленов по отношению к этому расстоянию.

Цитата

3. Аксиоматический подход, по мнению большинства математиков,
оказался очень плодотворным в алгебре и функциональном анализе.

А учению о теплороде человечество обязано уравнением теплопроводности. А без средневековой алхимии не было бы современной химии. Мавр закончил своё дело - мавру можно уходить.

Цитата

4. Если в "абстрактной" (неконструктивной) математике
удалось доказать, что какой-то объект не существует
(например, что две какие прямые не пересекаются),
то он не будет существовать и в конструктивной математике
(если об этом объекте вообще можно будет говорить в конструктивной
математике).

Если же удалось некоструктивно доказать,
что какой-то объект существует,
то это хороший повод попытаться его построить.

Таким образом, абстрактную математику можно сравнить
с разведкой и стратегическими силами, а конкретную - с пехотой.

Во-первых, конструктивная математика тоже абстрактна, поскольку изучает _общие_ свойства дискретных процессов.

Во-вторых: если в теоретико-множественной математике удалось доказать, что не существует _конструктивного_ объекта с определёнными _конструктивными_ свойствами, то такое доказательство, пардон, изначально конструктивно. Если же удалось доказать, что "не существует" _неконструктивного_ "объекта" с определённым _неконструктивным_ "свойством", то отсюда отнюдь не следует несуществование конструктивного аналога соответствующего "объекта" с конструктивным аналогом соответствующего "свойства". Например, известна "теорема" о том, что не существует функции c, сопоставляющей с каждым линейным функционалом f, определённым на всём гильбертовом пространстве H (заранее фиксированном), число c(f) такое, что \( \forall x\in H |f(x)| \leqslant c(f)\|x\| \). Действительно: берём в зубы лемму Цорна (не к ночи будь помянута), строим в H базис Гамеля (свят-свят-свят) и "конструируем" на его основе неограниченный функционал, чем немедленно опровергаем предположение о существовании функции c. Однако в конструктивной математике такая функция c возможна, и соответствующий алгорифм был предъявлен ещё в 50-е годы!

В-третьих: если неконструктивно "доказано" существование некоего объекта, то это отнюдь не означает оправданности попыток "поискать" этот объект. Слаб\`о поискать, к примеру, уже упомянутый базис Гамеля где-нибудь в \( l_2 \)?

Цитата

5. Множество натуральных чисел - удобная абстракция,
и в _каком-то смысле_ этот объект существует.
Например, как слово, состоящее из аксиом Пеано.

Короче, как некоторое общее свойство натуральных чисел, выражаемое, в частности, посредством той или иной формулы в том или ином логическом языке. Разумеется, в _этом_ смысле множество натуральных чисел существует. Но ведь речь-то изначально шла о существовании такого множества в смысле наивной "теории" множеств Кантора, то есть о существовании актуально бесконечной совокупности натуральных чисел! А это "две большие разницы".

Цитата

6. Если совсем отрицать абстракции и
говорить чисто реально и конкретно,
то _в каком-то смысле_ не существует даже числа 2:
в природе нет двух одинаковых объектов.

Кому-то кажется естественным остановиться на одном уровне абстракции, кому-то - на другом.

Ещё раз повторяю: "чисто реально и конкретно" говорят "нормальные пацаны", а не математики-конструктивисты. Марков постоянно талдычил, что "конструктивная математика есть абстрактная наука о конструктивных процессах". Кстати, рекомендую посмотреть его статью "Конструктивная математика" в 3-м издании БСЭ (перепечатана в "Математическом Энциклопедическом Словаре" ). Число 2 есть то общее, что есть у двух пальцев, двух паровозов, двух кандидатов в президенты РФ :) и прочих относительно устойчивых совокупностей из двух относительно чётко отделённых друг от друга объектов.

Что же до разных "этажей" абстракции - это тоже верно. Но с некоторых этажей, по словам того же Маркова, "не видно спуска на землю". Попробуйте, к примеру, набросать программку для расчёта собственных значений задачи Штурма--Лиувилля (вроде той, что обсуждается в соседней подветке данного форума), руководствуясь теоретико-множественными концепциями.

С уважением,
Гастрит

04.03.2004 15:17
Мимо цели
Цитата

Андрей писал(а) :
Г-н Гастрит, я полагаю что Ваше существование у вас сомнений не вызывает. Но согласно Вашему подходу, для доказательства существования объекта нужно предъявить все его элементарные составные части. Сможете ли Вы описать все элементарные составные части, из которых Вы состоите? И видел ли их кто-нибудь? И уверены ли Вы, что их число является конечным?

Что касается конечности и бесконечности, то согласно определению множесто конечно если оно не равномощно никакому собственному подмножеству. Согласно этому определению, множество натуральных чисел бесконечно, и оно не тождественно конечному набору слов, который его описывает.

Да, моё существование для меня несомненно :) Однако я - не множество. Вот в чём коренная ошибка Вашей аргументации.

Давайте не путать. Множество - это относительно устойчивая (согласно "теории" множеств - даже абсолютно устойчивая) совокупность относительно чётко (согласно "теории" множеств - абсолютно чётко) отделённых друг от друга объектов. Понятие множества - абстрактное понятие; любой конкретный объект, если он вообще может быть истолкован как множество, толкуется в этом смысле неоднозначно.

Так, меня можно рассмотреть как целое. При этом получится множество из одного элемента - "один Гастрит". Можно рассмотреть меня как совокупность определённых органов, отвлекаясь при этом от рассмотрения связи этих органов (а также от тех органов, которые не вошли в интересующий нас список). При этом может получиться, например, множество из 8 элементов: "сердце Гастрита", "мозг Гастрита", "левая почка Гастрита", "правая почка Гастрита", "печень Гастрита", "левое лёгкое Гастрита", "правое лёгкое Гастрита", "желудок Гастрита". И так далее.

При этом число частей, которые будут во мне выделены при каждом конкретном рассмотрении меня в качестве множества, будет конечным (хотя оно и может варьироваться в зависимости от того, что считается элементом). Другое дело, что никакое рассмотрение меня в качестве множества не сможет исчерпать _всех_ моих свойств - именно потому, что в сущности я НЕ множество (впрочем, Вы, смею надеяться, - тоже :) ).

Что же касается множества натуральных чисел, то оно, поистине, не тождественно конечному набору слов, который его описывает. В этом я с Вами совершенно согласен. То, чего НЕТ, уж никоим образом не может быть тождественно тому, что ЕСТЬ :)


С уважением,
Гастрит

04.03.2004 15:35
Андрей
если Вы не признаёте
существование множества натуральных чисел, то давайте тогда будем считать, что совокупность натуральных чисел - тоже не множество, а некоторый _объект_, который содержит 1 и вместе с каждым числом N содержит число s(N), причём если s(N)=s(N'), то N=N'.
04.03.2004 15:47
Игорь Абрамов
И я это знал :))
Цитата

Что Вы говорите? Вы не это имели в виду? Вы хотели привести в качестве примера бесконечные множества, которые на математическом жаргоне _называются_ "натуральным рядом" и "множеством точек на окружности"? Простите, но _в действительности_ привели-то Вы именно слова, а не обозначаемые этими словами "объекты" (что и неудивительно - "объектов"-то нет)! Так что потрудитесь, сложите где-нибудь кучку из _всех_ натуральных чисел, а рядом с ней - кучку из _всех_ точек окружности: вот тогда нам будет о чём поговорить. Пока же Ваши примеры - пустопорожняя болтовня (простите за резкость).

Кучка из всех точек окружности, да будет Вам известно,
уважаемый Гастрит, это есть сама окружность.
Пересечение окружности с любым лучом, выходящим из
центра, есть такая точка.
Я полагаю, что это есть преъявленные в явной форме точки
окружности. Если Вы этого не видите, то это, увы, проблема
примитивно-идеалистического мировоззрения ---
"все чего я не могу интуитивно осознать --- не существует".

С натуральными числами та же самая история.
Натуральный ряд --- это та самая кучка.

А требовать явного предъявления всех элементов
в явно различимом виде --- значит наступать на грабли,
уже посещенные древними греками, которые на могли
признать корень из 2 числом, по причине его иррациональности.
04.03.2004 15:49
А подробнее?
Цитата

Андрей писал(а) :
давайте тогда будем считать, что совокупность натуральных чисел - тоже не множество, а некоторый _объект_, который содержит 1 и вместе с каждым числом N содержит число s(N), причём если s(N)=s(N'), то N=N'.

Давайте. Только давайте Вы сначала _построите_ такой объект, а не просто _опишете_ его? Тогда станет по крайней мере ясно, о чём идёт речь.

Я например, ничего не имею против, если в качестве этого "некоторого объекта" будет взята однопараметрическая формула (какого-либо логического языка), выражающая отношение "X есть натуральное число". При этом фраза "множество F содержит X" будет означать "замкнутая формула F(X) истинна". Но ведь такое решение проблемы не будет иметь ничего общего с Вашей первоначальной задачей - "спасти" наивное Mengenlehre Кантора!

Что делать будем?

С уважением,
Гастрит

04.03.2004 16:01
Андрей
Я не собираюсь его строить
Мне хватает того, что я его просто вижу. Вижу именно сам объект, а не составляющие его все натуральные числа, причём вижу его я не в виде однопараметрической формулы, а как объект N вместе с парой морфизмов (o,s), где o: 1 -> N (1 отображается в начальный элемент), s: N -> N (каждое n отображается в n'), таких, что для каждого объекта A и каждой пары морфизмов f: 1 -> A, g: A -> A существует единственный морфизм h, удовлетворящий условиям ho=f, hs=gh. (несложное упражнение - доказать, что все объекты N с такими свойствами изоморфны)
04.03.2004 16:03
Игорь Абрамов
По-моему это бессмыслица
Вы объявляете реальными, только конструктивно выразимые объекты.

Это совершенно аналогично попыткам строить математику
без использования закона исключенного третьего.
Можно конечно. Забавно. Может, по дороге кое-что и получится
интересное.

Результатом будет только разбиение понятий и результатов
на зависящие и независящие от этого закона.
Это может иметь некий смысл с точки зрения анализа
структуры математического знания.

Но возводить эти результаты в философский принцип, это,
извините, безумие. Получается секта верящая в свою
математическую чистоту по отношению к остальным
математикам, и не дающая ничего нового.

Как я Вам уже писал, для существования математического
понятия необходима и достаточна его непротиворечивость.
Для оправданности такого существования требуется еще
практическая применимость пониятия в приложениях или
самой математике.

А попытки наводить ограничения на методы из идеологических
соображений, увы, уже были в нашей истории :(
04.03.2004 16:07
Вам не больно? :)
Цитата

Кучка из всех точек окружности, да будет Вам известно,
уважаемый Гастрит, это есть сама окружность.
Пересечение окружности с любым лучом, выходящим из
центра, есть такая точка.

Я полагаю, что это есть преъявленные в явной форме точки
окружности. Если Вы этого не видите, то это, увы, проблема
примитивно-идеалистического мировоззрения ---
"все чего я не могу интуитивно осознать --- не существует".

С натуральными числами та же самая история.
Натуральный ряд --- это та самая кучка.

А требовать явного предъявления всех элементов
в явно различимом виде --- значит наступать на грабли,
уже посещенные древними греками, которые на могли
признать корень из 2 числом, по причине его иррациональности.

Ай-яй-яй, уважаемый Игорь Абрамов! Какие же дураки были греки! Возможно, Вы удивитесь, но я _полностью разделяю_ их точку зрения - да и не я один. Не только корень из двух не есть число, но и окружность не есть совокупность точек, а лишь _геометрическое место_ оных (то есть объект, могущий вступать с точками в отношение инцидентности, а отнюдь не _составленный_ из точек).

Возьмите _реальную_ окружность - например, начерченную карандашом на листе бумаги. Предупреждаю сразу: рассматривать идеальные окружности я отказываюсь по причине неприятия мною примитивно-идеалистического мировоззрения :) Возьмите также _реальный_ луч, выходящий из _реального_ центра. Уверяю Вас, окажется, что все полученные Вами точки и линии достаточно жирны для того, чтобы число _таких_ точек, минимально необходимое для "составления" окружности, оказалось конечно. Это даже если принять Ваше представление о том, что окружность вообще состоит из точек (хотя на деле не состоит).

Впрочем, возможно, Вам недостаточно таких "примитивно-материалистических" соображений. Что ж, я могу аргументировать и по принципу magister dixit. Был академик такой - Александров Александр Данилович. Может, Вы о нём даже слышали :) Так вот он абсолютно чётко писал, что _реальные_ линии из точек _не_ составлены, и потому вопрос о соответствии теоретико-множественных представлений о континууме реальному континууму - вопрос далеко не тривиальный. А ведь вроде и не грек :)

Так что на грабли попали, уж извините, именно Вы.

С уважением,
Гастрит

04.03.2004 16:16
Игорь Абрамов
Больно
Больно такое читать, если честно :(

Математика изучает идеальные объекты, поэтому рассматривать
неидеальные линии в математическом контексте это странно.

Если же Вам хочется работать в области материалистической
математики, то, это совершенно другая область деятельности,
к занятиям математикой как наукой отношения не имеющая.
04.03.2004 16:29
Шуме-ел камыш :)

Вот я и оказался вынужден присвоить Ваш заголовок :)

Может, хватит языки чесать? Математика - это наука (а _не_ часть богословского пустословия), и потому призвана решать практические задачи. Вопрос: как с такими задачами справляется "теория" множеств, и как - конструктивная математика?

Ответ прост: решает их _только_ вторая. Первая лишь языком чешет: "во множества бесконечные ве-е-ерую, да пребудет с нами лемма Цорна и ныне, и присно и во веки веко-о-о-ов! А кто на Святые Алефы хулу возводит - ана-а-афема!". Так что это не конструктивисты - секта, это теоретико-множественники - церковь.

С уважением,
Гастрит

04.03.2004 16:39
А моя несогласна, однако!
Цитата

Игорь Абрамов писал(а) :
Больно такое читать, если честно :(

Математика изучает идеальные объекты, поэтому рассматривать
неидеальные линии в математическом контексте это странно.

"Идеальное - это материальное, пересаженное в человеческую голову и преобразованное в ней" :)

Цитата

Если же Вам хочется работать в области материалистической
математики, то, это совершенно другая область деятельности,
к занятиям математикой как наукой отношения не имеющая.

К занятиям математикой как _наукой_ ТОЛЬКО такая деятельность и относится! Dixi! "На этом я стою, иначе - не могу!"


С уважением,
Гастрит

04.03.2004 16:44
Игорь Абрамов
Взаимно :)
Цитата

Гастрит писал(а) :

Вот я и оказался вынужден присвоить Ваш заголовок :)

Может, хватит языки чесать? Математика - это наука, и потому призвана решать практические задачи. Вопрос: как с такими задачами справляется "теория" множеств, и как - конструктивная математика?

Угу. Какая часть математиков пользуется теорией множеств, если это
удобно, и какая воздерживается по "идейным соображениям" ?
Посмотрите на современные "классические" учебники и
монографии по основным разделам математики. Используют
там теорию множеств или нет ?

Так что не очень-то убедительны Ваши призывы в
"светлое конструктивное будущее".
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти