Вопрос логикам: наивное понятие множества...

Цитата

Игорь Абрамов писал(а) :
Кстати, я вот давно задавал вопросик, бывают ли в
конструктивной математике

1) невычислимые функции
2) задачи, не имеющие алгоритмического решения

1) А что такое функция? Если она есть "способ определить значение зависимой переменной по заданному значению независимой", то отрицательный ответ уже заключён в вопросе :) Если же она есть "подмножество декартова произведения etc.", то делаем следующее:
а) Берём достаточно навороченный логический язык.
б) Берём в этом языке достаточно мутную двухпараметрическую формулу F такую, что из F(X,Y) и F(X,Z) следует Y=Z.

Например, можно взять алгорифм A с неразрешимой проблемой применимости и сварганить формулу, выражающую отношение "Y=0, если A не применим к X, и Y=1, если A применим к X". Вот Вам и невычислимая "функция", причём вполне конструктивная :)

2) А за что, по Вашему, Марков-младший поимел чебышёвскую премию? А на чём прославился Матиясевич?

С уважением,
Гастрит

какую оценку Вы получили на 1-ом курсе по алгебре? :)

Напоминаю: есть такая _чисто алгебраическая_ операция - "дифференцирование многочленов" называется. Когда найдёте в определении этой операции "существенное использование бесконечных множеств" - свистнете.

С уважением,
Гастрит

Цитата

skyrdqt писал(а) :
если я к примеру хочу продифференцировать sin(x) - как мне быть?

Теорему Вейерштрасса о полиномиальной аппроксимации помним? Может, даже о полиноме Бернштейна слышали?

При рассмотрении многочленов мы можем - алгорифмически! - определить между ними расстояние пространств \( C^n \). Функция \( \sin \) (кстати: \( \sin(x) \) - это вообще число, а не функция :) ) может быть определена как некая последовательность многочленов, фундаментальная в \( C^1[0,\pi] \). Производные многочленов из оной последовательности будут образовывать последовательность, фундаментальную в \( C[0,1] \). Вот Вам и производная синуса :)

Во избежание недоразумений: пространство - это НЕ множество точек. Это пара из
а) формулы, определяющей "элементы" пространства (в данном случае - многочлены);
б) алгорифма, определяющего функцию расстояния.


С уважением,
Гастрит

это как раз Вы продемонстрировали непонимание позиции оппонента :)

Последовательность - это вообще не множество. Она - алгорифм :) :)

С уважением,
Гастрит

Цитата

skyrdqt писал(а) :
И ещё, если не трудно, предъявите пожалуйста в явном виде эту последовательность, а также последовательность для производной, и доказательство того, что сумма квадратов этих последовательностей равна 1. Это поможет оценить, насколько общепринятый подход, основанный на бесконечных множествах, короче и приятнее вашего конструктивного.

Двойка Вам по математическому анализу за третий семестр. Кстати, она попадёт в диплом :) По комплексному анализу - тоже двойка, и тоже в диплом.
[
\sin(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
\]
Написать программку, перерабатывающую всякое натуральное число n в список коэффициентов многочлена, являющегося n-ой частичной суммой выписанного ряда, или сами справитесь? А то ведь так можно и третью двойку получить - по методам вычислений.

С уважением,
Гастрит

P.S.: По русскому языку, Вам, кстати, тоже двойка. Слово "Вы", употребляемое как обращение, а не как местоимение второго лица множественного числа, пишется с заглавной буквы.

Разумеется разложение в ряд Тейлора я изучал, но оно обычно основывается на общепринятом понятии производной, которая определяется через предел по базе. Хотелось бы увидеть, как можно определить разложение синуса в ряд без использования понятия предела.

Цитата

skyrdqt писал(а) :
Разумеется разложение в ряд Тейлора я изучал, но оно обычно основывается на общепринятом понятии производной, которая определяется через предел по базе. Хотелось бы увидеть, как можно определить разложение синуса в ряд без использования понятия предела.

Минуточку. Насколько я помню, формулы синуса/косинуса суммы вводятся ещё в средней школе без всяких пределов по базе (которые, кстати, настолько НЕ общеприняты, что не во всяком курсе математического анализа фигурируют - многие лекторы обходятся без фильтров :) ). Получить же разложение тригонометрических функций в ряды на основе формул сложения аргумента - не самая сложная задача.

Н-да, до какой же степени люди с теоретико-множественным туманом в голове отучаются видеть простые вещи... Без обид: инерция мышления - страшное дело, по себе знаю :(

С уважением,
Гастрит

Зачем вообще для нахождения производной функции sin нужно раскладывать её в ряд? Кому нужны эти извращения?

Цитата

skyrdqt писал(а) :
Во-первых, Вы понимаете "правильность" не в том смысле - я имел ввиду обоснование связи этого ряда с функцией sin (определяемой геометрически).

Геометрически? В рамках _какой_ геометрии? Евклидовой? Описанной тем самым Евклидом, который - как и все античные математики - не признавал актуальной бесконечности и называл окружность "геометрическим местом точек", а не "совокупностью точек"?

Конечно, современные фальсификаторы (вроде Колмогорова) уверяют, будто "геометрическое место" и "совокупность" - одно и то же. Но на то они и фальсификаторы.

А теперь к делу. Для вывода формул сложения нам вполне хватит обычных геометрических представлений. Затем... Простите, говорить "затем" ещё рано. Сначала надо разжевать парочку тривиальных вещей, которые Вы вне теоретико-множественной концепции себе не представляете.

Любое реальное измерение непрерывной величины всегда имеет отличную от нуля неопределённость, так как сама величина не является вполне точной. Длина стержня, например, испытывает малые колебания вследствие теплового движения. В метрологии об этом даже ещё помнят. Поэтому реальный угол всегда задаётся в виде \(\alpha\pm\varepsilon\), и синус его, соответственно, тоже есть \(x\pm\delta\). Так что формула синуса суммы изначально оперирует именно с приближёнными числами (как и формула из теоремы Пифагора). Это я к тому, что Вам явно хочется закричать, что синус изначально трансцендентен, а мыслить трансцендентность помимо теоретико-множественного бреда невозможно.

Задача теперь такова. Дано: приближённое "издание" синуса - например, взятое из таблиц Брадиса. При этом известно, что данное "издание" с достаточной степенью точности удовлетворяет формулам сложения. Доказать: что частичные суммы "ряда Тейлора для синуса" аппроксимируют наше "издание" синуса с достаточной степенью точности.

Думаю, что с этой задачей Вы вполне можете справиться :)

С уважением,
Гастрит

Цитата

skyrdqt писал(а) :
Зачем вообще для нахождения производной функции sin нужно раскладывать её в ряд? Кому нужны эти извращения?

Можно поинтересоваться, вы машинными вычислениями на своём веку много занимались? Можете написать программку, считающую предел конечных разностей?

"Теория" множеств - идеальный выход для словоблуда от математики.

С уважением,
Гастрит