Добрый всем день!
Меня давно смущал вопрос о правильном сочетании статистических и приборных отклонений. В конечном счёте я сформулировал его так.
Есть некоторая измеряемая величина
$t$, которая предполагается случайной, имеющей гауссово распределение
$Г_t(\mu_t, \sigma_t)$.
Поскольку величина сама по себе случайная, то наша задача заключается в определении её распределения - т.е. параметров
$\mu_t$ и
$\sigma_t$.
Для этого проводится серия измерений и получается ряд значений
$n_i$. Беда в том, что прибор у нас тоже не идеальный, а потому даёт собственные случайные добавки (допустим, гауссовы).
Запишем всё символьно:
$t~Г_t(\mu_t, \sigma_t), g~Г_g(0, \sigma_g)$$n_i = t_i + g_i \Rightarrow t ~ Г_n(\mu_t, \sigma_n), \sigma_n^2 = \sigma_t^2 + \sigma_g^2$$\mu_t, \sigma_t-?$Лучшей оценкой для матожидания (срднего значения)
$\mu_t$ является среднее арифметическое по экспериментальной выборке
$\mu_t^{exp} =( \sum_{i=1}^{N} n_i )/N$.
Лучшей несмещённой оценкой для среднеквадратичного отклонения (СКО) (корня из дисперсии)
$\sigma_n$ является определённое по экспериментальной выборке значение
$\sigma_n^{exp} =\sqrt {\frac{\sum_{i=1}^{N} \left(n_i - \mu_t^{exp}\right)^2}{N-1}} $.
Вопрос №1. Теперь, зная приборную погрешность (т.е.
$\sigma_g$) и имея оценку
$\sigma_n^{exp}$, можно ли оценить искомый параметр
$\sigma_t$ по экспериментально определённым величинам согласно выражению
$\sigma_t^{exp} = \sqrt {(\sigma_n^{exp})^2 - (\sigma_g)^2}$?
Понятно при этом, что от выборки к выборке вычисленные значения
$\mu_t^{exp}$ и
$\sigma_n^{exp}$ будут варьироваться. Для
$\mu_t^{exp}$ эти вариации характеризуются величиной среднеквадратичного отклонения среднего (СКОС)
$\sigma_{\mu}^{exp} = \sigma_n^{exp}/\sqrt{N}$. Т.е.
$(\sigma_{\mu}^{exp})^2$ - оценка по данной экспериментальной выборке дисперсии
$(\sigma_{\mu})^2$ для величины
$\mu_t^{exp}$, определяемой по множеству таких выборок. В конечном счёте это позволяет нам написать, что искомый параметр
$\mu_t$ определён по данной экспериментальной выборке равным
$\mu_t^{exp}$ с точностью, характеризуемой величиной
$\sigma_{\mu}^{exp}$, являющейся корнем из дисперсии.
Вопрос №2. Второй искомый параметр распределения
$\sigma_t$ был определён по данной экспериментальной выборке равным
$\sigma_t^{exp}$ - а чем характеризуется точность определения этого второго параметра?
Вопрос №3. А как быть в том случае, если приборная погрешность в каждом измерении известна, но различна - т.е. для каждого измеренного значения
$n_i$ случайная приборная добавка
$g_i$ определялась по распределению с собственным значением дисперсии
$Г_{g_i}(0, \sigma_{g_i})$? Это вполне возможно, если приборная погрешность, например, различна в различных измерительных интервалах. Другой пример - объединение нескольких линеек измерений, проведённых приборами с различной погрешностью. Моё предложение - вычислять средние значения с весами, обратно пропорциональными приборным погрешностям. Но правильно ли это?
Вопрос №4. Модель
$t~Г_t(\mu_t, \sigma_t), g~Г_g(0, \sigma_g)$ призвана раздельно учесть влияние известной приборной погрешности и прочих неизвестных случайных факторов. При этом целью измерений является определение собственно значения величины
$t$. Среднее её значение мы определили из экспериментальных данных, как
$\mu_t^{exp}$. Я правильно понимаю, что погрешность определения этой величины характеризуется величиной СКОС
$\sigma_{\mu}^{exp}$ (которую для вычисления уже именно погрешности надлежит умножить на коэффициент Стьюдента
$S_{\alpha,N}$) именно потому, что она подразумевает учёт как приборной погрешности
$\sigma_g$, так и случайной
$\sigma_t$? Т.е. погрешность
$Δt = S_{\alpha,N}\sigma_{\mu}^{exp}$. Для чего же тогда в методичках всяких часто пишут про отдельный расчёт случайной погрешности через умножение СКОС на коэффициент Стьюдента, определение приборной погрешности, а затем общую погрешность рассчитывают как корень из суммы квадратов? Т.е. согласно методичкам погрешность
$Δt = \sqrt{(S_{\alpha,N}\sigma_{\mu}^{exp})^2 + (A)^2}$, где можно соотнести приборную погрешность с используемыми выше обозначениями, например, так
$ A = 3\sigma_g}$. Мне кажется, что такой вариант из методичек не вполне правильный. Характеризующий приборную погрешность параметр
$\sigma_g$ уже учтён при вычислении
$\sigma_{\mu}^{exp}$. А по "формуле из методичек" мы его ещё раз учитываем.
Редактировалось 2 раз(а). Последний 07.02.2019 10:08.
