Чистая математика

Автор темы spirin 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий и рекламы в форуме26.03.2008 03:07
ОбъявлениеPhD позиция (аспирантура) по математике в Мальмё, Швеция30.09.2017 22:10
ОбъявлениеВычисление параметров смешанной модели15.11.2017 16:57
08.03.2019 10:46
Чистая математика
Общее доказательство теоремы Ферма
Теорема.
Уравнение $a^3 + b^3 = c^3$ не имеет решений в целых ненулевых числах $a, b, c.$
Доказательство.
Примем для удобства $a < b < c$
Запишем исходное уравнение в виде:
(1) $a^3 + 8(b/2)^3 = 27(c/3)^3$
Рассуждения сводятся к выяснению вопроса о том, какое из трёх действительных положительных чисел $a^3, (b/2)^3 или (c/3)^3$ является наименьшим.
Рассмотрим по отдельности каждый из трёх возможных вариантов.
1). Число $a^3$ является наименьшим среди трёх чисел $a^3, (b/2)^3, (c/3)^3$.
2). Число $(b/2)^3$ является наименьшим.
3). Число $(c/3)^3$ является наименьшим.
Случай 1. Убедимся, что число $a^3$ не может быть самым маленьким.
Запишем равенство:
(2) $3(c/3)^3 + 24(c/3)^3 = 27(c/3)^3$
Вычтем из уравнения (1) уравнение (2):
(3) $a^3 – 3(c/3)^3 + 8[(b/2)^3 – 3(c/3)^3] = 0$
Поскольку $a^3 – 3(c/3)^3 < 0$, постольку $(b/2)^3 – 3(c/3)^3 > 0$.
Однако в последней записи должен стоять знак неравенства противоположного смысла, поскольку $b<c$
Вывод 1. Число $a^3$ не может быть самым маленьким из трёх.
Случай 2. Убедимся, что число $(b/2)^3$ не может быть наименьшим.
Запишем уравнение:
(5) $(b/2)^3 + 8(b/2)^3 = 9(b/2)^3$
Вычтем уравнение (5) из уравнения (1):
$a^3 – (b/2)^3 = 9[(c/3)^3 – (b/2)^3] + 18(c/3)^3$
Поскольку число $(b/2)^3$ самое маленькое, обе величины $(c/3)^3 – (b/2)^3$ и $a^3 – (b/2)^3$ положительны. Однако правая часть уравнения составляет более двух третей величины $c^3$, тогда как в левой части только часть малого куба $a^3$, то есть меньше половины суммарной величины $(a^3 + b^3)$.
Вывод 2. Если число $(b/2)^3$ является самым маленьким из трёх, величина большого куба превосходит сумму двух малых кубов.
Случай 3. Убедимся, что число $(c/3)^3$ не может быть наименьшим.
Запишем равенство:
(6) $3(c/3)^3 + 24(c/3)^3 = 27(c/3)^3$
Вычтем из уравнения (1) уравнение (6)
$a^3 – 3(c/3)^3 + 8[(b/2)^3 – 3(c/3)^3] = 0$
Если $a^3 – 3(c/3)^3 < 0$, то $(b/2)^3 – 3(c/3)^3 > 0$, или наоборот.
Ни в том, ни в другом случае число $(c/3)^3$ не является наименьшим.
Остаётся единственный вариант: все три числа $a^3, (b/2)^3, (c/3)^3$ одинаковы, но в этом случае большой куб превосходит суммарную величину двух малых кубов ровно в три раза.
Вывод 3. Если числа $a^3, (b/2)^3, (c/3)^3$ является одинаковыми, величина большого куба превосходит сумму двух малых кубов.

Теорема доказана.

Или опять нет?



Редактировалось 2 раз(а). Последний 10.03.2019 09:24.
09.03.2019 03:04
ТС доказал...
... неразрешимость уравнения для всех действительных чисел и, похоже, для всех степеней!
Всё как-то загажено в этой теме. Да и во многих других тоже.
10.03.2019 00:05
На этот форум и заходить-то боязно,
здесь теперь засилье идиотов.
10.03.2019 01:59
опечатка или ошибка
Цитата
spirin
...
Вычтем из уравнения (1) уравнение (2):
(3) $a^3 – 3(c/3)^3 + 8[(b/2)^3 – 3(c/3)^3] = 0$
Поскольку $a^3 – 3(c/3)^3 < 0$, постольку $(b/2)^3 – 3(c/3)^3 > 0$.
...

Теорема доказана.

Или опять нет?

Цитата

$(b/2)^3 – 3(c/3)^3 > 0$.
Это опечатка или ошибка?
Так как b<c, то $(b/2)^3 – 3(c/3)^3 < 0$.
Проверьте просто на числах и увидите..
10.03.2019 08:29
Это не опечатка
Цитата

Это опечатка или ошибка?
Так как $b<c$, то $(b/2)^3–3(c/3)^3<0$.
Проверьте просто на числах и увидите..
Собственно, на этом пункте можно считать законченным доказательство того условия, что $a$ не может быть самым маленьким. Ведь это доказательство от противного. Мы допустили, что число $a$ является наименьшим, и пришли к абсурду.
10.03.2019 14:50
...
Цитата
spirin
Собственно, на этом пункте можно считать законченным доказательство того условия, что $a$ не может быть самым маленьким. Ведь это доказательство от противного. Мы допустили, что число $a$ является наименьшим, и пришли к абсурду.

Цитата
spirin
Уравнение $a^3 + b^3 = c^3$ не имеет решений в целых ненулевых числах $a, b, c.$
Доказательство.
Примем для удобства $a < b < c$
...
Поскольку $a^3 – 3(c/3)^3 < 0$, постольку $(b/2)^3 – 3(c/3)^3 > 0$.
Однако в последней записи должен стоять знак неравенства противоположного смысла, поскольку $b<c$
Вывод 1. Число $a^3$ не может быть самым маленьким из трёх.
...

Пришли к абсурду или привели к абсурду... доказательство написано не понятно, желательно было бы отметить, где следует из предположения, а где из условия, а где из того, как хотелось бы доказать. Слов "поскольку" - это мало для доказательства, так и ошибочное суждение можно принять, как истинное. Например:
$a^3 – 3(c/3)^3 < 0$ , выполняется при a<c ; если a=c, то b=0, если a>c, то b<0
То, что b<c, не доказывает, что b<a.
11.03.2019 13:09
Доказывает!
Цитата

То, что b<c, не доказывает, что b<a.
Мы же расположили числа по старшинству. Нельзя менять буковку $a$, которой мы обозначили самое маленькой число в неравенстве $a<b<c$, на буковку $b$, которой мы обозначили совсем другое число.
11.03.2019 14:44
...
Тогда в чём доказательство (от обратного, как понимаю), что а не может быть самым маленьким?
Как было a<b<c, так и осталось без противоречия.
а и b не менял, о другом речь.
11.03.2019 16:51
Суть
Цитата

Тогда в чём доказательство (от обратного, как понимаю), что а не может быть самым маленьким?
Если допустить, что $a$ самое маленькое число из трёх, то число $b$ оказывается самым большим, тогда как оно среднее.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти