Сумма функционального ряда cos(nx)/(a^2+n^2)

Автор темы yurichist 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий и рекламы в форуме26.03.2008 03:07
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеВычисление параметров смешанной модели15.11.2017 16:57
28.04.2019 07:51
Сумма функционального ряда cos(nx)/(a^2+n^2)
Помогите пожалуйста найти сумму ряда Фурье:

Сумма по n от 1 до бесконечности от cos(nx)/(a^2+n^2)

Мне известна эта сумма при a=0, Мне известна эта сумма при x=2pi. Как быть в общем случае? Сумма этого ряда понадобилась для решения одной вариационной задачи.
30.04.2019 13:38
Все в порядке - метод Ватсона
Прошу прощения, сообщение отредактировал, пока еще никто не ответил. Потом мне показалось, что будут проблемы со знаками вычетов, но нет - все в порядке.
Подробнее про метод Ватсона смотрите в книге Свешников, Тихонов, Теория функций комплексной переменной, издание 1999 года или позднее. В конце книги есть "Приложение".
Используйте вспомогательный интеграл:
$I = \frac{x}{2i}\int_{L^++L^-}\frac{\cosxz}{(a^2+Z^2)\sin{xz}}\,dz$, где $Z=\frac{xz}{\pi}$.
Объединение прямых${L^++L^-}$, по которым берется интеграл, такое же, как в книге.



Редактировалось 3 раз(а). Последний 30.04.2019 15:48.
30.04.2019 21:39
Сумма функционального ряда cos(nx)/(a^2+n^2)
Большое спасибо за подсказку. Постараюсь найти книгу Свешникова в ближайшее время, Давно ушел от ТФКП..., но когда-то на физтехе знал неплохо. Думаю, что разберусь.
01.05.2019 12:16
Сумма функционального ряда cos(nx)/(a^2+n^2)
У меня ничего не получается. Следуя методу Ватсона для суммы ряда по n от минус бесконечности до плюс бесконечности от

cos(n*x)/(n^2+a^2)

получаю формулу для суммы

Pi/a Ch(a*x)*Cth(a*pi).

Но эта формула верна только при x=0. Она растет по x вблизи нуля, а должна убывать. Следуя схеме Приложения у Свешникова я пробовал использовать интеграл по z от функции

Const*Cos(z*x)*exp(i*pi*z)/[(a^2+z^2)sin(pi*z)]

Получается неправильный результат.

Вы в своем письме предложили воспользоваться интегралом, который я не смог понять, так как там используются большие и маленькие z. В моем понимании вашего интеграла получается, что заменой переменных y=zx можно избавиться от x, чего не должно быть.



Редактировалось 3 раз(а). Последний 02.05.2019 17:46.
06.05.2019 18:48
Сумма функционального ряда cos(nx)/(a^2+n^2)
Ответ оказался очень простым..На отрезке 0-2pi это косинус гиперболический с вершиной в pi. Формула приводится в справочнике. Решить методами ТФКП через вычеты я так и не сумел.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти