Математики вычислили все конгруэнтные числа до триллиона

Математики из Великобритании, США, Австралии и Уругвая составили полный список конгруэнтных чисел, которые лежат в промежутке от нуля до триллиона.

Конгруэнтными называют те натуральные числа, которые могут представлять собой значение площади прямоугольного треугольника со сторонами, выраженными рациональными числами. Наименьшее конгруэнтное число – $5$ (соответствующий ему треугольник имеет стороны длиной $3/2$, $20/3$ и $41/6$); за ним следуют $6, 7, 13, 14, 15, 20$ и так далее.

Стоит отметить простое правило: если число $s$ конгруэнтно, то конгруэнтным будет и число $s \cdot n^2$, где $n$ – натуральное. Основную сложность, таким образом, представляет поиск новых конгруэнтных чисел, свободных от квадратов.

Впервые конгруэнтными числами заинтересовался персидский математик Ал-Караджи (ок. 953–1029), на которого оказали влияние труды греческого ученого Диофанта (ок. 21–290), затрагивавшего смежные проблемы. В 1225 году Фибоначчи выяснил, что числа $5$ и $7$ конгруэнтны, и предположил, что число $1$, напротив, не является конгруэнтным; лишь в 1659 году это утверждение было доказано Пьером Ферма. К 1915 году были определены все конгруэнтные числа в пределах $100$, однако в пределах $1000$ некоторые неясности сохранялись даже к 1980 году.

В 1982 году Джеррольд Таннел (Jerrold Tunnell) из Университета Ратджерса (США) сумел значительно продвинуться в этом направлении, связав конгруэнтные числа с другим хорошо изученным математическим объектом – эллиптическими кривыми. Исследователь сформулировал довольно простой критерий Таннела, который используется для проверки того, конгруэнтно ли заданное число.

Строго доказать истинность этого критерия, однако, никому пока не удалось: доказательство тесно связано с одной из открытых проблем современной математики – гипотезой Бёрча и Свиннертон-Дайера, за решение которой установлена награда в один миллион долларов.

Авторы работы также полагались в своих расчетах на критерий Таннела. Для того чтобы обеспечить точность результатов, ученые выполнили вычисления дважды, на двух разных компьютерах и по разным оригинальным алгоритмам.

Первый компьютер был построен на базе четырех процессоров AMD Opteron 8378 Quad-Core с тактовой частотой 2,4 ГГц, второй – на базе четырех процессоров Intel Xeon X7460 с частотой 2,66 ГГц; оба компьютера оснащались оперативной памятью объемом 128 Гб. Впрочем, даже такого объема оказалось недостаточно для того, чтобы оперировать гигантскими числами, которые были задействованы в процессе вычисления, и исследователям приходилось активно использовать дисковую подсистему.

В результате ученые составили список из $3 148 379 694$ конгруэнтных чисел, которые не превышают триллиона. По оценкам их коллег, в промежутке от триллиона до квадриллиона ($1015$) должно содержаться еще около 800 миллиардов конгруэнтных чисел; исследователи планируют проверить это предположение, когда у них появится компьютер с жесткими дисками соответствующего объема.

Препринт статьи можно скачать отсюда. Новость подготовлена по материалам Уорикского университета (Великобритания).

Компьюлента