Во вторник, 6 октября 2009 года, в 18:30 в аудитории 16-24 Главного здания МГУ состоится заседание Московского математического общества: Комбинаторный подход к проблеме реализации циклов (Combinatorial approach to the cycle realization problem). Лектор – А. А. Гайфуллин.
Проблема реализации классов гомологий топологических пространств образами гладких многообразий восходит еще к работам А. Пуанкаре, была четко сформулирована Н. Стинродом в конце 1940-х годов и известна под названием проблемы реализации циклов. Классические результаты по этой задаче были получены Р. Томом в 1954 году. Опираясь на доказанную им теорему трансверсальности и вычисление когомологий универсальных пространств Тома, он получил следующие результаты:
1. Всякий класс гомологий с коэффициентами в
$Z_2$ может быть реализован образом гладкого многообразия;
2. Для любого
$n$ существует натуральное число
$k(n)$ такое, что всякий
$n$-мерный целочисленный класс гомологий может быть реализован образом ориентированного гладкого многообразия с кратностью
$k(n)$; при этом
$k(n)=1$ (все классы реализуются при
$n<7$);
3. Построил пример семимерного нереализуемого целочисленного класса гомологий.
Позже важные результаты по проблеме реализации циклов, включая оценки для чисел
$k(n)$, были получены С. П. Новиковым, В. М. Бухштабером и другими математиками.
В докладе будет рассказано о новом подходе к проблеме реализации циклов, основанном на явном комбинаторном построении реализующего многообразия
$N$ для класса
$qz$ (для некоторого натурального
$q$) по сингулярному циклу, представляющему заданный целочисленный класс гомологий
$z$. При этом искомое многообразие
$N$ склеивается из специальных простых многогранников, называемых пермутоэдрами.
Такая комбинаторная конструкция сразу дает следующий результат: для каждой размерности
$n$ существует одно ориентированное гладкое многообразие
$M^n$ такое, что всякий
$n$-мерный целочисленный класс гомологий любого топологического пространства может быть реализован с некоторой кратностью образом конечнолистного накрытия над многообразием
$M^n$. В качестве многообразия
$M^n$ выступает многообразие изоспектральных симметрических трехдиагональных вещественных
$(n+1)\times (n+1)$-матриц. К сожалению, при таком комбинаторном подходе не удается получить никаких разумных оценок на кратность
$q$.
Московское математическое общество
