Круглый стол, знакомства

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеИщем преподавателя для углубленного обучения статистическим методам29.05.2020 13:22
ОбъявлениеМатематик-алгоритмист (Vehicle Routing Problem) – удаленная работа03.06.2020 17:58
18.11.2019 01:01
Круглый стол, знакомства
Условие

За круглым столом сидят несколько гостей.
Некоторые из них знакомы между собой; знакомство взаимно.
Все знакомые любого гостя (считая его самого) сидят вокруг стола через равные промежутки.
(Для другого человека эти промежутки могут быть другими.)
Известно, что любые двое имеют хотя бы одного общего знакомого.
Верно ли, что на самом деле, все гости знакомы друг с другом (то есть каждый знаком с каждым).


Найдется человек, знакомый со всеми остальными.




Ответ: Да, верно
Заметим, что если у человека есть знакомые, сидящие рядом (в частности, если он знаком со своим соседом), то этот человек знаком со всеми.
Покажем, что такой гость найдется.
Пусть A и B - двое соседей.
Если они не знакомы между собой, то их общий знакомый C знаком со всеми, так как его знакомые сидят без промежутков.
В противном случае знаком со всеми человек A (по той же причине).
Итак, пусть X - гость, знакомый со всеми.
Тогда его соседи тоже знакомы со всеми, так как они знакомы с X (являющимся для них соседом).
Соседи этих соседей также знакомы со всеми, и так далее по кругу в обе стороны.

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти