Прямоугольная пирамида

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеСпециалист по математике (разработчик контента для дистанционной системы обучения)31.03.2020 11:52
19.12.2019 19:34
Прямоугольная пирамида
Условие

В треугольной пирамиде АВСР все углы при вершине Р – АРВ, АРС, ВРС – прямые.
Какие ограничения это обстоятельство накладывает на углы треугольника АВС?


По теореме Пифагора:
$AB^2 = PA^2 + PB^2$
$AC^2 = PA^2 + PC^2$
$BC^2 = PC^2 + PB^2$.




Ответ: треугольник АВС – остроугольный.
Для любого остроугольного треугольника АВС существует в пространстве точка Р, такая, что все углы при вершине Р – АРВ, АРС, ВРС – прямые.



По теореме Пифагора:
$AB^2 = PA^2 + PB^2$
$AC^2 = PA^2 + PC^2\,\,$ (1)
$BC^2 = PC^2 + PB^2$.
Отсюда $AB^2 < AC^2 + BC^2$.
По теореме косинусов отсюда следует, что угол АCВ – острый. Аналогично можно рассмотреть остальные углы треугольника АВС. Поэтому треугольник АВС – остроугольный.
Покажем, что для любого остроугольного треугольника АВС существует в пространстве точка Р с указанным свойством.
Из (1) по заданным АВ, АС, ВС однозначно определяются РА, РВ, РС.
Например, $2\cdotPA^2=AB^2+AC^2-BC^2$.
Очевидно, эта величина больше нуля. Для любых величин РА, РВ, РС существует пирамида АВСР с указанными свойствами. Для этого расположим точку Р в начале координат, а отрезки РА, РВ, РС отложим на осях Ox, Oy, Oz. В результате будет получена требуемая пирамида.




Редактировалось 5 раз(а). Последний 20.12.2019 00:11.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти