Найти все треугольники, длины сторон и длина диаметра вписанной окружности которых выражаются четырьмя последовательными натуральными числами
Это тот треугольник, о котором Вы подумали
Ответ: длины сторон треугольника – 3,4,5; диаметр вписанной окружности –. Обозначим длины сторон треугольника $a,b,c$; полупериметр – $p$; радиус вписанной окружности – $r$. Пусть, например, $2\cdotr + a = b + c$ Тогда $r = p - a$ Обозначим центр вписанной окружности О, точки касания этой окружности со сторонами $b$ и $c$ – D и E.
Тогда $AD = AE = OD = OE = p - a$ => четырехугольник AEOD – квадрат Угол A – прямой Так как сторона $a$ – наибольшая в треугольнике, то $2\cdotr < b$ и $2\cdotr < c$. Таким образом, $b, c, a$ – последовательные натуральные числа, равные длинам сторон прямоугольного треугольника. Получаем, что $b, c, a = 3, 4, 5$. В этом треугольнике $r = 1$, то есть $2\cdotr = 2$.
Редактировалось 1 раз(а). Последний 03.02.2020 01:44.