Суперцелочисленный треугольник

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеМатематик-алгоритмист (Vehicle Routing Problem) – удаленная работа03.06.2020 17:58
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
02.02.2020 15:02
Суперцелочисленный треугольник
Условие

Найти все треугольники, длины сторон и длина диаметра вписанной окружности которых выражаются четырьмя последовательными натуральными числами



Это тот треугольник, о котором Вы подумали



Ответ: длины сторон треугольника – 3,4,5; диаметр вписанной окружности –.
Обозначим длины сторон треугольника $a,b,c$; полупериметр – $p$; радиус вписанной окружности – $r$.
Пусть, например, $2\cdotr + a = b + c$
Тогда $r = p - a$
Обозначим центр вписанной окружности О, точки касания этой окружности со сторонами $b$ и $c$ – D и E.



Тогда $AD = AE = OD = OE = p - a$ => четырехугольник AEOD – квадрат
Угол A – прямой
Так как сторона $a$ – наибольшая в треугольнике, то $2\cdotr < b$ и $2\cdotr < c$.
Таким образом, $b, c, a$ – последовательные натуральные числа, равные длинам сторон прямоугольного треугольника.
Получаем, что $b, c, a = 3, 4, 5$. В этом треугольнике $r = 1$, то есть $2\cdotr = 2$.





Редактировалось 1 раз(а). Последний 03.02.2020 01:44.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти