ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа20.10.2020 18:59
07.02.2020 00:06
Суммы трех кубов
Условие

Верно ли, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде суммы трех кубов натуральных чисел?



Рассмотрите остатки при делении куба целого числа на 9



Ответ: Да. Существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трех кубов натуральных чисел. В частности, это натуральные числа, которые дают остатки 4 и 5 при делении на 9.

Рассмотрим остатки при делении куба целого числа на 9.
Если натуральное число $n$ делится на 3, то $n^3$ делится на 9, то есть дает остаток 0 при делении на 9.
Пусть $n$ имеет остаток 1 при делении на 3, тогда $n = 3k+1$, где $k$ – натуральное число.
$(3k+1)^3 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 = 9\cdot(3k^3 + 3k^2 + k) + 1$.
Таким образом, число $(3k+1)^3$ дает остаток 1 при делении на 9.
Если $n$ имеет остаток 2 при делении на 3, то можно записать $n=3k-1$ и
$(3k-1)^3 = 9\cdot(3k^3-3k^2+k)-1$.
Таким образом, число $(3k-1)^3$ дает остаток –1 (это тоже самое, что и остаток 8) при делении на 9.
Итак, для остатков от деления куба целого числа на 9 имеется только 3 возможности: 0, 1, –1.
Отсюда получаем, что можно получить в сумме только остатки 0, 1, 2, 3, –1, –2, –3.
Таким образом, имеется бесконечное множество натуральных чисел, дающих остаток 4 или –4 при делении на 9 и не представимых в виде суммы трех кубов натуральных чисел.





Редактировалось 1 раз(а). Последний 07.02.2020 00:59.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти