Пары хороших чисел

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеСпециалист по математике (разработчик контента для дистанционной системы обучения)31.03.2020 11:52
03.04.2020 00:53
Пары хороших чисел
Условие

Назовем натуральное число хорошим, если оно содержит любой простой множитель не менее, чем во второй степени.
Существуют ли пары последовательных натуральных чисел, каждое из которых является хорошим?
Может, таких пар бесконечно много?



Найти первую пару последовательных хороших легко.
Если числа $m, m+1$ хорошие, то число $4 \cdot m \cdot (m+1)$ хорошее




Ответ: Первая пара последовательных хороших чисел – 8 и 9.
Покажем, что если числа $m, m+1$ хорошие, то и числа $4 \cdot m \cdot (m+1),4 \cdot m \cdot (m+1)+1$ также хорошие.
В самом деле, число $4 \cdot m \cdot (m+1) = 2^2 \cdot m \cdot (m+1)$ хорошее, поскольку числа $m, m+1$ хорошие;
число $4 \cdot m \cdot (m+1)+1 = 4 \cdot m^2 + 4 \cdot m + 1 = (2 \cdot m + 1)^2$ хорошее, поскольку оно является полным квадратом.
Получая из пары (8, 9) с помощью указанного перехода новые пары хороших чисел (при этом переходе оба числа в паре, очевидно, возрастают), можно получить сколь угодно много пар хороших чисел.
Следующая пара в соответствии с алгоритмом это $288 = 2^5 \cdot 3^2$ и $289 = 17^2$


Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти