Пары хороших чисел

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеМосковского математического общество объявляет конкурс ММО для молодых ученых за 2020 год15.05.2020 18:42
ОбъявлениеИщем преподавателя для углубленного обучения статистическим методам29.05.2020 13:22
03.04.2020 00:53
Пары хороших чисел
Условие

Назовем натуральное число хорошим, если оно содержит любой простой множитель не менее, чем во второй степени.
Существуют ли пары последовательных натуральных чисел, каждое из которых является хорошим?
Может, таких пар бесконечно много?



Найти первую пару последовательных хороших легко.
Если числа $m, m+1$ хорошие, то число $4 \cdot m \cdot (m+1)$ хорошее




Ответ: Первая пара последовательных хороших чисел – 8 и 9.
Покажем, что если числа $m, m+1$ хорошие, то и числа $4 \cdot m \cdot (m+1),4 \cdot m \cdot (m+1)+1$ также хорошие.
В самом деле, число $4 \cdot m \cdot (m+1) = 2^2 \cdot m \cdot (m+1)$ хорошее, поскольку числа $m, m+1$ хорошие;
число $4 \cdot m \cdot (m+1)+1 = 4 \cdot m^2 + 4 \cdot m + 1 = (2 \cdot m + 1)^2$ хорошее, поскольку оно является полным квадратом.
Получая из пары (8, 9) с помощью указанного перехода новые пары хороших чисел (при этом переходе оба числа в паре, очевидно, возрастают), можно получить сколь угодно много пар хороших чисел.
Следующая пара в соответствии с алгоритмом это $288 = 2^5 \cdot 3^2$ и $289 = 17^2$


Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти