Сумма N последовательных натуральных чисел – квадрат?

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеСтуденты и преподаватели мехмата МГУ могут бесплатно получать лицензию на Wolfram Mathematica25.11.2020 00:55
26.04.2020 20:56
Сумма N последовательных натуральных чисел – квадрат?
Условие

Сумма двух последовательных натуральных чисел может быть квадратом (например, $3^2 + 4^2 = 5^2$).
А) Верно ли, что сумма трех последовательных натуральных чисел может быть квадратом?
Б) Верно ли, что сумма четырех последовательных натуральных чисел может быть квадратом?
В) Верно ли, что сумма одиннадцати последовательных натуральных чисел может быть квадратом?



А) нет
Б) нет
В) да





Ответ:
А) нет
Б) нет
В) да

А) Пусть $S_3 = n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 = 3n^2 + 6n + 5 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2$.
То есть $S_3 = 3k + 2$, тогда как полный квадрат равен $3k$ или $3k + 1$.

Б) Пусть $S_4 = n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 + (n + 3)^2 = 4n^2 + 12n + 14 = 2(2n^2 + 6n + 7)$.
Таким образом, $S_4$ делится на два, но не делится на 4, так как $2n^2 + 6n + 7$ не делится на два.

В) $18^2 + 19^2 + … + 28^2 = 5929 = 77^2$


Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти