Сумма N последовательных натуральных чисел – квадрат?

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеМатематик-алгоритмист (Vehicle Routing Problem) – удаленная работа03.06.2020 17:58
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
26.04.2020 20:56
Сумма N последовательных натуральных чисел – квадрат?
Условие

Сумма двух последовательных натуральных чисел может быть квадратом (например, $3^2 + 4^2 = 5^2$).
А) Верно ли, что сумма трех последовательных натуральных чисел может быть квадратом?
Б) Верно ли, что сумма четырех последовательных натуральных чисел может быть квадратом?
В) Верно ли, что сумма одиннадцати последовательных натуральных чисел может быть квадратом?



А) нет
Б) нет
В) да





Ответ:
А) нет
Б) нет
В) да

А) Пусть $S_3 = n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 = 3n^2 + 6n + 5 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2$.
То есть $S_3 = 3k + 2$, тогда как полный квадрат равен $3k$ или $3k + 1$.

Б) Пусть $S_4 = n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 + (n + 3)^2 = 4n^2 + 12n + 14 = 2(2n^2 + 6n + 7)$.
Таким образом, $S_4$ делится на два, но не делится на 4, так как $2n^2 + 6n + 7$ не делится на два.

В) $18^2 + 19^2 + … + 28^2 = 5929 = 77^2$


Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти