Сумма N последовательных натуральных чисел – квадрат?
Условие
Сумма двух последовательных натуральных чисел может быть квадратом (например, $3^2 + 4^2 = 5^2$). А) Верно ли, что сумма трех последовательных натуральных чисел может быть квадратом? Б) Верно ли, что сумма четырех последовательных натуральных чисел может быть квадратом? В) Верно ли, что сумма одиннадцати последовательных натуральных чисел может быть квадратом?
А) нет Б) нет В) да
Ответ: А) нет Б) нет В) да
А) Пусть $S_3 = n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 = 3n^2 + 6n + 5 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2$. То есть $S_3 = 3k + 2$, тогда как полный квадрат равен $3k$ или $3k + 1$.
Б) Пусть $S_4 = n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 + (n + 3)^2 = 4n^2 + 12n + 14 = 2(2n^2 + 6n + 7)$. Таким образом, $S_4$ делится на два, но не делится на 4, так как $2n^2 + 6n + 7$ не делится на два.