Сумма N последовательных натуральных чисел – квадрат?

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеTinkoff Business Analyst / Product Owner19.02.2021 19:06
Форумы Список тем Новая тема
26.04.2020 20:56
koh
Сумма N последовательных натуральных чисел – квадрат?
Условие

Сумма двух последовательных натуральных чисел может быть квадратом (например, $3^2 + 4^2 = 5^2$).
А) Верно ли, что сумма трех последовательных натуральных чисел может быть квадратом?
Б) Верно ли, что сумма четырех последовательных натуральных чисел может быть квадратом?
В) Верно ли, что сумма одиннадцати последовательных натуральных чисел может быть квадратом?



А) нет
Б) нет
В) да





Ответ:
А) нет
Б) нет
В) да

А) Пусть $S_3 = n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 = 3n^2 + 6n + 5 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2$.
То есть $S_3 = 3k + 2$, тогда как полный квадрат равен $3k$ или $3k + 1$.

Б) Пусть $S_4 = n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 + (n + 3)^2 = 4n^2 + 12n + 14 = 2(2n^2 + 6n + 7)$.
Таким образом, $S_4$ делится на два, но не делится на 4, так как $2n^2 + 6n + 7$ не делится на два.

В) $18^2 + 19^2 + … + 28^2 = 5929 = 77^2$


Ответить Цитировать
« Следующая тема   Предыдущая тема »
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти