Раскрасьте плоскость в три цвета так, чтобы каждая прямая оказалась окрашенной ровно в два цвета (все 3 цвета должны присутствовать).
Одним из цветов можно окрасить всего одну точку
Введем систему координат. Покрасим красным цветом начало координат, синим цветом - оси координат, исключая начало координат, белым - оставшиеся точки плоскости. Покажем, что полученная раскраска - искомая. Возьмем произвольную прямую. Имеются три возможности: 1) Прямая может являться одной из осей координат. Тогда все точки этой прямой - синие, за исключением одной красной. 2) Прямая может проходить через начало координат, но не являться осью координат. Тогда она не пересекает оси координат в других точках; поэтому все точки этой прямой - белые, за исключением одной красной. 3) Прямая пересекает хотя бы одну из осей координат не в начале координат и отлична от осей координат. Тогда эта прямая раскрашена в синий и белый цвета. Другой вариант раскраски: - красным цветом – начало координат; - синим цветом – I и III квадранты, включая оси координат; - оставшиеся точки плоскости – белым цветом.