Раскраска плоскости

Одним из цветов можно окрасить всего одну точку

Введем систему координат.
Покрасим красным цветом начало координат, синим цветом - оси координат, исключая начало координат, белым - оставшиеся точки плоскости.
Покажем, что полученная раскраска - искомая.
Возьмем произвольную прямую. Имеются три возможности:
1) Прямая может являться одной из осей координат. Тогда все точки этой прямой - синие, за исключением одной красной.
2) Прямая может проходить через начало координат, но не являться осью координат. Тогда она не пересекает оси координат в других точках; поэтому все точки этой прямой - белые, за исключением одной красной.
3) Прямая пересекает хотя бы одну из осей координат не в начале координат и отлична от осей координат. Тогда эта прямая раскрашена в синий и белый цвета.
Другой вариант раскраски:
- красным цветом – начало координат;
- синим цветом – I и III квадранты, включая оси координат;
- оставшиеся точки плоскости – белым цветом.