Арифметикогеометрическая прогрессия

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеМосковского математического общество объявляет конкурс ММО для молодых ученых за 2020 год15.05.2020 18:42
ОбъявлениеМатематик-алгоритмист (Vehicle Routing Problem) – удаленная работа03.06.2020 17:58
14.06.2020 21:35
Арифметикогеометрическая прогрессия
Условие

Последовательность $a_1, a_2, a_3, …$ такова, что $a_1, a_2, a_3 $ образуют геометрическую прогрессию, $a_2, a_3, a_4$ образуют арифметическую прогрессию, $a_3, a_4, a_5$ образуют геометрическую прогрессию, $a_4, a_5, a_6$ образуют арифметическую прогрессию и т.д.
Известно, $a_1 = 1$ и $a_5 + a_6 = 198$.
Найти $a_{11}$



Можно, например, выразить $a_5$ и $a_6$ через $a_2$





Ответ: $a_{11} = 441$
$a_1, a_2, a_3$ образуют геометрическую прогрессию => $a_3 = (a_2)^2$
$a_2, a_3, a_4$ образуют арифметическую прогрессию => $a_4 = a_2\cdot(2a_2 – 1)$
$a_5 = (2a_2 – 1)^2$
$a_6 = (2a_2 – 1)\cdot(3a_2 – 2)$
Отсюда находим $a_2 = 5$
Далее
$a_3 = 25$
$a_4 = 45$
$a_5 = 81$
$a_6 = 117$
$a_7 = 169$
$a_8 = 221$
$a_9 = 289$
$a_{10} = 357$
$a_{11} = 441$
$a_{2n+1} = (4n + 1)^2$
$a_{2n} = (4n – 3) \cdot (4n + 1)$

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти