Дележ торта

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеИщем преподавателя для углубленного обучения статистическим методам29.05.2020 13:22
ОбъявлениеМатематик-алгоритмист (Vehicle Routing Problem) – удаленная работа03.06.2020 17:58
02.08.2020 22:30
Дележ торта
Условие

Торт имеет форму произвольного треугольника.
Двое сластен делят его следующим образом.
Первый указывает на торте точку, второй проводит через эту точку прямолинейный разрез и забирает себе большую часть.
Какую наибольшую часть торта может обеспечить себе первый сластена?
Считается, что торт всюду имеет одинаковую толщину.



Рассмотрите точку пересечения медиан.




Ответ: $\frac{4}{9}$
Покажем, что если первый сластена выберет точку пересечения его медиан (точку М), то он гарантирует себе $\frac{4}{9}$ торта.
Если второй сластена разрежет торт по прямой, проходящей через точку М и параллельной одной из сторон, то первому достанется $\frac{4}{9}$ торта.
Если второй сластена проведет разрез не параллельно сторонам треугольника, то доля первого сластены даже увеличится.
Покажем, что при выборе первым сластеной любой другой точки N внутри треугольника второй сластена может провести разрез так, что доля первого будет меньше.
Действительно, три треугольника, отсекаемые от данного, прямыми, параллельными сторонам этого треугольника и проходящими через точку M, покрывают весь треугольник.
Поэтому точка N лежит в одном из них, обозначим его Т.
Второй сластена проводит разрез параллельно основанию этого треугольника.
Полученный треугольник лежит в Т, таким образом он меньше $\frac{4}{9}$.





Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти