Делимость на 11

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеСпециалист по математике (разработчик контента для дистанционной системы обучения)31.03.2020 11:52
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
13.08.2020 19:34
Делимость на 11
Условие

Найти трехзначные числа, которые делятся на 11, и при делении на 11 дают частное, равное сумме квадратов цифр исходного числа


Пусть искомое трехзначное число равно $100a + 10b + c$.
Тогда в соответствии с признаком делимости на 11 $b = a + c$ или $b = a + c - 11$




Ответ: 550, 803

$100a + 10b + c = 11(a^2 + b^2 + c^2)$

1. $b = a + c$
$100a + 10(a+c) + c = 11(a^2 + (a+c)^2 + c^2)$
$2a^2 + 2ac - 10a + 2c^2 - c = 0$
Решая квадратное уравнение относительно $a$ получаем $Det = - 3c^2 - 8c + 25.$
$Det$ является полным квадратом только при $c=0$
Получаем число $550 = 11(5^2 + 5^2)$

2. $b = a + c - 11$
$100a + 10(a+c-11) + c = 11(a^2 + (a+c-11)^2 + c^2)$
$2a^2 + 2ac - 32a + 2c^2 - 23c + 131 = 0$
Решая квадратное уравнение относительно $a$ получаем $Det = - 3c^2 + 14c - 6$.
$Det$ является полным квадратом только при $c=3$
Получаем число $803 = 11(8^2 + 3^2)$

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти