Делимость на 11

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеСтуденты и преподаватели мехмата МГУ могут бесплатно получать лицензию на Wolfram Mathematica25.11.2020 00:55
ОбъявлениеМатематики, программисты, репетиторов (платформа SapioX)28.01.2021 12:47
ОбъявлениеИсследовательские гранты фонда «БАЗИС» 202118.02.2021 17:56
13.08.2020 19:34
Делимость на 11
Условие

Найти трехзначные числа, которые делятся на 11, и при делении на 11 дают частное, равное сумме квадратов цифр исходного числа


Пусть искомое трехзначное число равно $100a + 10b + c$.
Тогда в соответствии с признаком делимости на 11 $b = a + c$ или $b = a + c - 11$




Ответ: 550, 803

$100a + 10b + c = 11(a^2 + b^2 + c^2)$

1. $b = a + c$
$100a + 10(a+c) + c = 11(a^2 + (a+c)^2 + c^2)$
$2a^2 + 2ac - 10a + 2c^2 - c = 0$
Решая квадратное уравнение относительно $a$ получаем $Det = - 3c^2 - 8c + 25.$
$Det$ является полным квадратом только при $c=0$
Получаем число $550 = 11(5^2 + 5^2)$

2. $b = a + c - 11$
$100a + 10(a+c-11) + c = 11(a^2 + (a+c-11)^2 + c^2)$
$2a^2 + 2ac - 32a + 2c^2 - 23c + 131 = 0$
Решая квадратное уравнение относительно $a$ получаем $Det = - 3c^2 + 14c - 6$.
$Det$ является полным квадратом только при $c=3$
Получаем число $803 = 11(8^2 + 3^2)$

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти